Принцип Дюамеля

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности^[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамель (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

$u_{tt}-c^2u_{xx}=f(x,t)\,$

с начальными условиями

$u(x,0)=u_t(x,0)=0.\,$

Решение имеет вид:

$u(x,t) = \frac{1}{2c}\int_0^t\int_{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)} f(\xi,s)\,d\xi\,ds.\,$

Для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами

Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путем нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:

$P(\partial_t)u(t) = F(t) \,$

$\partial_t^j u(0) = 0, \; 0 \leq j \leq m-1$

где

$P(\partial_t) := a_m \partial_t^m + \cdots + a_1 \partial_t + a_0,\; a_m \neq 0.$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

$P(\partial_t)G = 0, \; \partial^j_t G(0) = 0, \quad 0\leq j \leq m-2, \; \partial_t^{m-1} G(0) = 1/a_m.$

Определим $H = G \chi_{[0,\infty)}$, $\chi_{[0,\infty)}$ - характеристическaя функция на интервале $[0,\infty)$. Тогда

$P(\partial_t) H = \delta$

есть обобщённая функция.

$u(t) = (H \ast F)(t)$

$= \int_0^\infty G(\tau)F(t-\tau)\,d\tau$

$= \int_{-\infty}^t G(t-\tau)F(\tau)\, d\tau$

есть решение ОДУ.

Для уравнений в частных производных

Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:

$P(\partial_t,D_x)u(t,x) = F(t,x) \,$

где

$D_x = \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x} \,$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем

$P(\partial_t,\xi)\hat u(t,\xi) = \hat F(t,\xi).$

где $P(\partial_t,\xi)$ это ОДУ порядка m по t. Пусть $a_m$ это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в $P(\partial_t,\xi)$.

Для каждого $\xi$ решим $G(t,\xi)$

$P(\partial_t,\xi)G(t,\xi) = 0, \; \partial^j_t G(0,\xi) = 0 \; \mbox{ for } 0\leq j \leq m-2, \; \partial_t^{m-1} G(0,\xi) = 1/a_m.$

Определим $H(t,\xi) = G(t,\xi) \chi_{[0,\infty)}(t)$. Тогда

$P(\partial_t,\xi) H(t,\xi) = \delta(t)$

есть обобщённая функция.

$\hat u(t,\xi) = (H(\cdot,\xi) \ast \hat F(\cdot,\xi))(t)$

$= \int_0^\infty G(\tau,\xi)F(t-\tau,\xi)\,d\tau$

$= \int_{-\infty}^t G(t-\tau,\xi)F(\tau,\xi)\, d\tau$

есть решение уравнения (после перехода назад к x).

Примечания

1. ↑ Интеграл Пуассона для неоднородного уравнения теплопроводности. Принцип Дюамеля