Поворот Вика

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/13 декабря 2012. Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или немотивированного удаления содержания, подробнее см. руководство к дальнейшему действию. Не снимайте пометку о выставлении на удаление до окончания обсуждения. Администраторам: ссылки сюда, история (последнее изменение), журналы, удалить.

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.

Обзор

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

$ds^2 = -(dt^2) + dx^2 + dy^2 + dz^2$

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

$ds^2 = d\tau^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$,

если координата $t$ принимает только мнимые значения. То есть, задачу в пространстве Минковского с координатами $x$, $y$, $z$, $t$, заменяя $t = i\tau$ можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами $x$, $y$, $z$, $\tau$.

Статистическая и квантовая механика

Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь улучшить эту статью, исправив в ней ошибки. Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его.

Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры $1/(k_B T)\,$ мнимым временем $it/\hbar\,$. Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре $T\,$. Относительная вероятность найти заданный осциллятор в состоянии с энергией $E\,$ есть $\exp(-E/k_B T)\,$, где $k_B\,$ константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой $Q\,$ это, без нормирующего множителя,

$\sum_j Q(j) e^{-E_j / (k_B T)}.\,$

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время $t$ с Гамильтонианом $H$. Относительное изменение фаз базового состояния с энергией $E\,$ есть $\exp(-E it/ \hbar),\,$ где $\hbar\,$ постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний $|\psi\rangle = \sum_j |j\rangle\,$ приводит к произвольной суперпозици $|Q\rangle = \sum_j Q_j |j\rangle\,$ есть, пропуская нормирующий множитель,

$\; \langle Q|e^{-iHt/\hbar}|\psi\rangle$

$= \sum_j Q_j e^{-E_j it/ \hbar}\langle j|j\rangle$

$= \sum_j Q_j e^{-E_j it/ \hbar}.$

Статика и динамика

Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь улучшить эту статью, исправив в ней ошибки. Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его.

Поворот Вика связывает статические задачи в $n$ измерениях с динамическими задачами в $n-1$ измерениях, изменяя одно пространственное измерение на временное. В случае, где $n=2$ примером будет висящяя струна с закреплённым концом в гравитационном поле. Форма струны кривая $y(x)$. Струна в положении равновесия когда энергия связанная с кривой стационарна; этим экстремумом есть обычно минимум, поэтому эта идея обычно зовётся «принцип наименьшей энергии». Чтобы посчитать энергию, мы проинтегрируем по плотности энергии в каждой точке:

$E = \int_x \left[ k \left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2 + V(x) \right] dx,$

где $k$ — упругая постоянная и $V(x)$ — гравитационный потенциал.

Соответственная динамическая задача это бросание камня вверх; пусть камня соответствует стационарному действию. Действие это интеграл от функции Лагранжа; как и раньше, экстремум это обычно минимум, поэтому правило называется «принцип наименьшего действия»:

$S = \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 - V(t) \right] dt$

Мы получили решение динамической задачи (up to a factor of $-i$) from the statics problem by Wick rotation, replacing $x$ by $t$, $dx$ by $i dt$, and the spring constant $k$ by the mass of the rock $m$:

$-iS = \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{i dt}\right)^2 + V(t) \right] (i dt)$

$= -i \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 - V(t) \right] dt$

Ссылки

• Wick rotation — a blog introduction
• A Spring in Imaginary Time — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle