Нормальная форма Чибрарио

Нормальная форма Чибрарио

Нормальная форма Чибрарионормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь известного итальянского математика Марии Чибрарио, установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений.

Содержание

Особые точки

Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

F(x,y,p) = 0, \ где  p=\frac{dy}{dx}.

Функция F предполагается вещественной, гладкой класса C^{\infty} (или аналитической) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами (x,y,p), лежащие на поверхности, задаваемой уравнением F=0, в которых производная F_p обращается в нуль, т. е. проектирование \pi поверхности \{F=0\} на плоскость переменных x,y вдоль направления оси p нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности \{F=0\} кривую, называемую криминантой. Проекция криминанты на плоскость (x,y) называется дискриминантной кривой, её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании \pi различным точками поверхности \{F=0\} может соответствовать одна и та же точка плоскости (x,y).

Поднятие уравнения

Дифференциальное соотношение p=dy/dx задает в пространстве (x,y,p) поле контактных плоскостей pdx-dy=0 (простейший пример так называемой контактной структуры). Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности \{F=0\}, задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости трансверсальны). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость (x,y) — графиками решений. Описанная конструкция исследования уравнений, не разрёшенных относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885). В современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность.

Нормальная форма

Простейшими особыми точками уравнения F(x,y,p)=0 являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование \pi имеет особенность, называемую складкой Уитни, и контактная плоскость не касается поверхности \{F=0\}. Это равносильно выполнению в данной точке условий:


F=0, \quad F_p=0, \quad F_{pp} \neq 0, \quad F_x + pF_y \neq 0.

Теорема. В окрестности регулярной особой точки уравнение F(x,y,p)=0 гладко (или аналитически) эквивалентно уравнению


p^2-x = 0, \

часто называемому нормальной формой Чибрарио. В 1932 году Чибрарио получила нормальную форму p^2-x=0, исследуя характеристики уравнения с частными производными второго порядка a(x,y)u_{xx} + b(x,y)u_{xy} + c(x,y)u_{yy} = 0 смешанного типа.

Примеры

Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми u_{xx}-x u_{yy} = 0, относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости x<0 и к гиперболическому — в полуплоскости x>0. Уравнение p^2-x=0 легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол


y= \pm \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \rm const,

заполняющих полуплоскость x>0, точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси y. Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной параболической точки. Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах.

Литература

  • Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
  • Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
  • Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Нормальная форма Чибрарио" в других словарях:

  • Нормальная форма дифференциальных уравнений — есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных… …   Википедия

  • Обыкновенное дифференциальное уравнение — Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)  это дифференциальное уравнение вида где   неизвестная функция (возможно, вектор функция, тогда , как правило, тоже вектор функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом… …   Википедия

  • Асимптотическая кривая — (асимптотическая линия) кривая на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности , т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»