Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Развитие нестабильности Рэлея — Тейлора.

Неустойчивость Рэлея — Тейлора — возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда более тяжёлая жидкость толкает более лёгкую. Примером такой неустойчивости может служить неустойчивость капли воды на поверхности масла — вода будет пытаться проникнуть сквозь масло.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности является число Атвуда.

Аналитическое описание

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести $\vec{g}$ друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей ρ₁,ρ₂. Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \nabla P + \vec{g},$

$\operatorname{div} \vec{v} = 0.$

В дальнейшем компоненты скорости определяются как $\vec{v} = \left\{ u, v, w \right\}$. Вполне очевидно, что равновесное решение ($\vec{v} = 0$) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:

$\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = - \rho g$

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

P₀ = − ρgz.

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость $\vec{v}$ настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым $\left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v}$ в уравнении Эйлера, а давление имеет вид P = P₀ + P', где P' < < P₀. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = - \frac{1}{\rho} \nabla P,$

$\operatorname{div} \vec{v} = 0.$

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т.к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие

$\quad \frac{\partial \zeta}{\partial t} = w,$

и динамическое условие

$\left(P_1 - P_2\right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = \sigma \Delta \zeta.$

Условие непротекания верхней и нижней границ:

$z=\pm h: \quad w = 0,$

где ζ - величина отклонения границы от невозмущённой, σ - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:

$\vec{v}, P, \zeta \sim e^{\lambda t} e^{i \left( k_x x + k_y y \right)},$

где λ - скорость роста (инкремент) возмущения, k_x,k_y - компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается w:

$\lambda w = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z},$

а условие несжимаемости $\operatorname{div}\vec{v} = 0$ даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:

$\frac{\partial^2 P}{\partial z^2} - k^2 P = 0,$

с граничными условиями:

$z=0: \quad \left( P_1 - P_2 \right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = -\sigma k^2 \zeta,$

$z=0: \quad \frac{1}{\rho_1} \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{1}{\rho_2} \frac{\partial P_2}{\partial z} = 0,$

$z=\pm h: \quad \frac{\partial P}{\partial z}=0.$

Решение уравнения Лапласа для давления:

$P_1 = C_1 \cosh k \left( h - z \right),$

$P_2 = C_2 \cosh k \left( h + z \right).$

Константы C₁,C₂ определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора

$\lambda^2 = \frac{\left( \rho_1 - \rho_2 \right)g - \sigma k^2 }{\rho_1 + \rho_2} k \tanh kh,$

откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при λ = 0):

$k_c^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{\sigma}$.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв (kh > > 1) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

$k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{3 \sigma}$.

В тонких слоях (kh < < 1):

$k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{2 \sigma}$.

В природе

• Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака.

Литература

• Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146.
• Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задача. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111.

Ссылки

• http://www.astronet.ru/db/msg/1188634