Лемма Шуры-Буры

Лемма Шуры-Буры — принятое в научной школе П. С. Александрова название для следующего элементарного утверждения общей топологии, касающегося свойств компактных пространств:

Пусть $U\!$ — открытое подмножество компактного пространства $X\!$, а $\{F_s\}_{s\in S}\!$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства. Если $\bigcap_{s\in S}F_s\subset U$, то существует конечное множество $\{s_1,s_2,\dots s_n\}\subset S\!$, такое, что $\bigcap_{i=1}^n F_{s_i}\subset U$.

Более краткая формулировка леммы Шуры-Буры (в терминах неиндексированных семейств множеств):

Пусть $U\!$ — открытое подмножество компактного пространства $X\!$, а $\mathcal F$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap\mathcal F\subset U$. Тогда $\bigcap\mathcal F_0\subset U$ для некоторого конечного подсемейства $\mathcal F_0\subset\mathcal F$.

Для доказательства леммы Шуры-Буры достаточно заметить, что семейство, состоящее из указанных в её формулировке множества $U\!$ и из дополнений элементов семейства $\mathcal F$, является открытым покрытием пространства $X\!$ и извлечь из этого покрытия конечное подпокрытие.

Свойство, указанное в лемме Шуры-Буры, на самом деле характеризует компактные пространства.^[1]

Обобщения леммы Шуры-Буры

Лемму Шуры-Буры можно обобщить на произвольные (не обязательно компактные) пространства, потребовав, чтобы рассматриваемое в ней семейство замкнутых множеств содержало хотя бы одно компактное^[2]:

Пусть $U\!$ — открытое подмножество пространства $X\!$, а $\mathcal F$ — некоторое семейство замкнутых подмножеств этого пространства, хотя бы одно из которых компактно, причём $\bigcap\mathcal F\subset U$. Тогда $\bigcap\mathcal F_0\subset U$ для некоторого конечного подсемейства $\mathcal F_0\subset\mathcal F$.

В предположении хаусдорфовости лемма Шуры-Буры допускает следующее существенное усиление^[3]:

Пусть $U\!$ — открытое подмножество хаусдорфова пространства $X\!$, а $\mathcal F$ — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap\mathcal F\subset U$. Тогда найдутся конечное семейство $\{\,F_1,F_2,\dots,F_n\,\}\subset\mathcal F$ и конечное семейство $\{\,V_1,V_2,\dots,V_n\,\}\!$ открытых в $X\!$ множеств, обладающие следующими свойствами:
а) $F_i\subset V_i\!$ для $i=1,2,\dots,n\!$;
б) $\bigcap_{i=1}^n V_i\subset U$.

Лемма Шуры-Буры и компоненты связности компакта

Лемма Шуры-Буры закрепилась как отдельное утверждение с данным названием в монографиях П. С. Александрова^[4][5], где оно использовалось в качестве вспомогательного для доказательства следующей фундаментальной теоремы, принадлежащей М. Р. Шуре-Буре (1941)^[6]:

Компонента связности каждой точки хаусдорфова компактного пространства совпадает с её квазикомпонентой^[7].

Некоторые авторы называют эту последнюю теорему также «леммой Шуры-Буры»^[8]. Для случая метрических компактов она была ранее доказана Ф. Хаусдорфом (1914)^[9].

Примечания

1. ↑ Действительно, пусть некоторое топологическое пространство $X\!$ обладает указанным в формулировке леммы Шуры-Буры свойством. Докажем, что это пространство компактно. Пусть $\mathcal V$ — произвольное его открытое покрытие. Предполагая непустоту семейства $\mathcal V$, выберем произвольное $~U\in\mathcal V$.
   Положим $\mathcal F=\{\,X\setminus V:V\in\mathcal V,\ V\neq U\,\}$; тогда $\bigcap\mathcal F\subset U$ (поскольку $\mathcal V$ — покрытие). Следовательно, найдется конечное $\mathcal F_0\subset\mathcal F$, для которого $\bigcap\mathcal F_0\subset U$. Легко видеть, что семейство открытых множеств, состоящее из $U\!$ и дополнений элементов семейства $\mathcal F_0$, является конечным подсемейством семейства $\mathcal V$, покрывающим пространство $X\!$.
2. ↑ См., например, Р. Энгелькинг Общая топология / Пер. с англ.. — М.: Мир, 1986., Следствие 3.1.5 (С. 197).
3. ↑ См., например A. Arhangel'skii, M. Tkachenko. Topological groups and related structures. — Atlantis Press, 2008. — ISBN 9078677066, лемма 2.4.6. В этой книге отмечено, что данное утверждение принадлежит топологическому фольклору.
4. ↑ П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — С. 171.
5. ↑ П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — С. 285.
6. ↑ М. Р. Шура-Бура. К теории бикомпактных пространств. — Матем. сб., 1941, 9(51):2, 385—388, Теорема I. В этой оригинальной работе «лемма Шуры-Буры» не сформулирована в качестве отдельного утверждения, но доказана неявно.
7. ↑ Компонента (компонента связности) точки топологического пространства — это наибольшее связное подпространство этого пространства, содержащее данную точку; квазикомпонента — пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств этого пространства, содержащих данную точку. Компонента каждой точки топологического пространства содержится в её квазикомпоненте. Обратное, вообще говоря, неверно (даже в случае локально компактных подпространств обычной евклидовой плоскости — см. Энгелькинг (loc. cit.), пример 6.1.24), однако в компактах (то есть компактных хаусдорфовых пространствах) компоненты точек совпадают с квазикомпонентами, как гласит указанная теорема. См. также её доказательство в цитированных книгах П. С. Александрова и Р. Энгелькинга.
8. ↑ См., например, М. В. Келдыш. Отзыв о научной деятельности М. Р. Шура-Бура (1968); Д. К. Мусаев. — О характеризации полных отображений посредством морфизмов в нульмерные. — Матем. тр., 7:2 (2004), 72—97.
9. ↑ F. Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. — Leipzig: von Veit, 1914.