Представление Гейзенберга

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Представление Гейзенберга — такое представление квантовой механики, при котором зависимость от времени с волновых функций (представление Шрёдингера) перенесена на операторы.

В таком представлении операторы координат и импульсов явно зависят от времени, а волновая функция от времени не зависит.

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга

Рассмотрим случай, когда оператор Гамильтона $\hat H$ не зависит от времени. Разложим произвольную волновую функцию $\Psi(\vec{r},t)~$ по волновым функциям стационарных состояний $\psi_{n}(\vec{r})~$.

$\hat H \psi_{n}(\vec{r})=E_{n}\psi_{n}~$ — по определению стационарных состояний. $E_{n}~$ — собственная энергия состояния $|n\rangle~$ .

Тогда само разложение можно записать, как:

$\Psi(\vec{r},t)=\sum_{n} c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar}\psi_{n}(\vec{r})~~~(1)$

Введем унитарный оператор $\hat S(t)=e^{-i\hat H t/\hbar}$

Его собственные функции совпадают с собственными функциями оператора Гамильтона $\hat H$, то есть с функциями $\psi_{n}(\vec{r})~$. Тогда $\hat S(t)$ обладает следующим свойством:

$\hat S(t)\psi_{n}(\vec{r})=e^{-iE_{n}t/\hbar}\psi_{n}(\vec{r})~~~(2)$

Используя этот оператор можно записать разложение $~(1)$ в виде:

$\Psi(\vec{r},t)=\hat S(t)\Psi(\vec{r},0)~~$

или, что то же самое:

$~|\Psi(\vec{r},t)\rangle=\hat S(t)|\Psi(\vec{r},0)\rangle$

Эта запись означает, что оператор $\hat S(t)~$ переводит состояние в начальный момент времени в состояние в произвольный момент времени.

Теперь для того, чтобы перевести зависимость от времени с волновой функции на произвольный оператор, мы рассмотрим среднее значение некого оператора $\hat A$:

$\langle A(t) \rangle=\int\Psi^{*}(\vec{r},t)\hat A \Psi(\vec{r},t) d\vec{r}$ — по определению среднего значения оператора.

Используя оператор $\hat S(t)$ и помня, что он унитарный, можно записать среднее значение оператора $\hat A$, как:

$\langle A(t) \rangle=\int\Psi^{*}(\vec{r},0) \hat S^{-1}(t) \hat A \hat S(t) \Psi(\vec{r},0) d\vec{r}$ — по определению среднего значения оператора.

Таким образом мы приходим к связи произвольного оператора в представлении Гейзенберга и представлении Шрёдингера:

$\hat A_H(t)=\hat S^{-1}(t) \hat A \hat S(t)$

где $\hat S(t)$ — унитарный оператор, удовлетворяющий условию $~(2)$ .

Для Гейзенберговского представления не применимо уравнение Шрёдингера. Вместо него в представлении Гейзенберга используется уравнение Гейзенберга для операторов:

${d \over dt} \hat{A_H}= -{1\over i \hbar} [\hat{H},\hat{A_H}] + \frac{\partial \hat{A_H}}{\partial t},$

Применение

Представление Гейзенберга бывает удобным применять при рассмотрении релятивистской теории.

См. также

• Квантовая механика
• Представление Шрёдингера
• Представление взаимодействия
• уравнение Шрёдингера
• Волновая функция
• Оператор (физика)

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2
• В.Г. Сербо, Хриплович И.Б. Квантовая механика:Учебное пособие. Новосибирский государственный университет, 2008. — 274 c. ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки

• Гейзенберга представление — статья из Физической энциклопедии
• Heisenberg picture (англ.)