4-градиент

4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается D, $\nabla_{\mu}$ или $\partial_{\mu}$) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как

$\partial_\mu = \nabla_{\mu} = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \vec{\nabla} \right) = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right),$

где $\vec{\nabla} = \left( \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right)$ — 3-вектор градиента.

Если вычислить скалярное произведение D на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:

$\square = D \cdot D = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu} = \partial^{\nu}\partial_{\nu}= \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \Delta = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \;,$

где $g^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ — метрический тензор, Δ — оператор Лапласа; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам.

Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а — скаляр, то его 4-градиент

$\partial_{\mu}a = a_{\;,\mu}\;.$

Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:

$D \cdot A = \partial_{\mu}A^{\mu} = A^{\mu}_{\;,\mu} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \nabla \mathbf{A},$

где $A^{\mu}=\{A^0,A^1,A^2,A^3\}=\{A_t, \mathbf{A}\}$ — контравариантные компоненты 4-вектора, а $\nabla \mathbf{A}$ — дивергенция.

Символ $D_\mu$ (и иногда $\nabla_\mu$) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:

$D_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu_{\alpha\mu} A^\alpha,$

где $\Gamma^\nu_{\alpha\mu}$ — символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:

$D_\mu a = \partial_\mu a.$

Ссылки

• S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003.
• L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
• J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X.