Шестиугольное число

Шестиугольное число — фигурное число. n-ое шестиугольное число — число точек в шестиугольнике, на каждой стороне которого ровно n точек.

Формула для n-го шестиугольного числа:

$h_n= n(2n-1)\,\!$

Последовательность шестиугольных чисел начинается так:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, … (последовательность A000384 в OEIS)

Свойства

• Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но только некоторые треугольные числа (первое, третье, пятое, седьмое и т. д.) являются шестиугольными. Как и для треугольных чисел, Цифровой корень (англ.)русск. шестиугольного числа может быть равен только 1, 3, 6 или 9. Иными словами при делении шестиугольного числа на девять в остатке останется 0, 1, 3 или 6.

• Каждое четное совершенное число является шестиугольным (полученное по формуле $M_p 2^{p-1} = M_p (M_p + 1)/2 = h_{(M_p+1)/2}$, где M_p — простое число Мерсенна), ни одно нечетное же совершенное число до сих пор не найдено, поэтому все известные совершенные числа — шестиугольные.

• n-ое шестиугольное число можно записать в виде суммы:

  $h_n = \sum_{i=0}^{n-1}{(4i+1)}$

Проверка на шестиугольность

Проверить, является ли натуральное число x шестиугольным, можно с помощью вычисления

$n = \frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}.$

Если n целое, то x является n-м шестиугольным числом. Если n не целое, то x шестиугольным не является.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.