- Ковариационная матрица
-
Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.
Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариациями между компонентами.
Определения
- Пусть , — два случайных вектора размерности и соответственно. Пусть также случайные величины имеют конечный второй момент, то есть . Тогда матрицей ковариации векторов называется
то есть
- ,
где
- .
- Если , то называется матрицей ковариации вектора и обозначается .[1]Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а ее след — скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом (или эллипсом в двумерном случае).
Свойства матриц ковариации
- Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
- .
- Матрица ковариации случайного вектора неотрицательно определена[1]:
- .
- Смена масштаба:
- .
- Если случайные векторы и нескоррелированы (), то
- .
- Матрица ковариации аффинного преобразования:
- ,
где — произвольная матрица размера , а .
- Перестановка аргументов:
- Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
- ,
- .
- Если и независимы, то
- .
Примечания
Категория:- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.