Род поверхности

В топологии, родом замкнутой ориентируемой поверхности $\Sigma$ называется её «число ручек». То есть такое число $g$, что данная поверхность гомеоморфна сфере с $g$ ручками.

На следующих рисунках изображены поверхности рода 0 (сфера), 1 (тор), 2 (крендель) и 3:

• Род замкнутой ориентируемой поверхности
• 

  род 0

• 

  род 1

• 

  род 2

• 

  род 3

Определение

Родом замкнутой ориентируемой поверхности $\Sigma$ называется такое число $g$, что $\Sigma$ гомеоморфна сфере с $g$ ручками. Эквивалентно, $\Sigma$ имеет род $g$ если $\Sigma$ гомеоморфна связной сумме сферы ($S^2$) и $g$ торов $T^2$

$\Sigma \sim S^2 \# (\underbrace{T^2 \# \dots \# T^2}_{g \, \text{PA3}}).$

Свойства

• Род $g$ поверхности $\Sigma$ может быть вычислен через её Эйлерову характеристику $\chi(\Sigma)$

  $g=\frac{2-\chi(\Sigma)}{2}.$

• Род поверхности $\Sigma\subset \C P^2$, являющейся замыканием множества нулей $\{P(x,y)=0\}$ многочлена P(x,y) степени $d$ общего положения, выражается через его степень как

  $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}.$

• Род гиперэллиптической поверхности $\Sigma\subset \C P^2$, являющейся замыканием множества

  $\{(x,y) \mid y^2=P(x)\}$

для свободного от квадратов многочлена P(x) степени $d$, выражается через его степень как

$g=\left\lceil\frac{d-1}{2} \right\rceil.$

Литература

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.