Орбиобразие

Орбиобра́зие — неформально говоря, это многообразие с особенностями, которые выглядят как фактор евклидова пространства по конечной группе.

Один из объектов исследования в алгебраической топологии, алгебраической и дифференциальной геометрии, теории особенностей.

Орбиобразие и многообразие (сравнение определений)

Орбиобразие определяется как хаусдорфово топологическое пространство $X$ (называемое подлежащим пространством орбиобразия) и выделенный набор открытых отображений $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\subset\R^n\to X$ (называемый атласом), такой, что $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ есть покрытие $X$.

Атлас должен удовлетворять некоторому набору свойств, который мы описываем неформально.

В отличие от многообразия, карты не являются гомеоморфизмами, но для каждой карты $\varphi_\alpha$ имеется конечная группа $\Gamma_\alpha$, действующая на $\R^n$ и переводящая $U$ в себя. Также для орбиообразий между картами существуют гомеоморфизмы сличения, но, в отличие от многообразий, они не единственны и переводятся друг в друга под действием соответствующих групп.

Комментарии

• Орбиобразие не является топологическим пространством.
• Более того, существуют различные орбиобразия с гомеоморфными подлежащими пространствами.

Примеры

• Пара многообразие $M$ с действием дискретной группы диффеоморфизмов $\Gamma$ задаёт орбиобразие с подлежащим пространством $M/\Gamma$.
  • Такие орбиобразия называются хорошими, в случае если такого представления не существует, то орбиобразие называется плохим.
• Структуру орбиобразия с двумерной сферой $\mathbb S^2=\hat\mathbb C$ как подлежащие пространство можно задать двумя картами $f,\;g\colon\mathbb C\to\hat\mathbb C$, $f(z)=z^m$ и $g(z)=1/z^n$ для натуральных чисел $m$ и $n$.
  • Это орбиобразие является хорошим тогда и только тогда, когда $n=m$.

История

Впервые орбиобразия были рассмотрены Сатаке (англ.), который назвал их V-многообразиями. Термин «орбиобразие» (англ. orbifold) был введён позже Тёрстоном.

Оба определяли орбиобразие как фактор многообразия по действию группы (в современной терминологии, они определяли «хорошие орбиобразия»). Позже Хафлигер (англ.) дал более общее определение через группоиды, которое является стандартным современным определением.

Литература

• Арнольд, В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. — М.: ФАЗИС, 1996. — 334 с. — ISBN 978-5-7036-0021-4.
• Каку, Мичио. Введение в теорию суперструн / пер. с англ. Г. Э. Арутюнова, А. Д. Попова, С. В. Чудова; под ред. И. Я. Арефьевой. — М.: Мир, 1999. — 624 с. — ISBN 5-03-002518-9
• Кетов, С. В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. — Новосибирск: Наука, 1990. — 368 с. — ISBN 5-02-029660-0.
• Скотт П. Геометрия на трёхмерных многообразиях. — М.: Мир, 1986.
• Dixon L., Harwey J. A., Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.