Неравенство Клаузиуса

Неравенство Клаузиуса (1854): Количество теплоты, полученное системой при любом круговом процессе, делённое на абсолютную температуру, при которой оно было получено (приведённое количество теплоты), неположительно.

$\circ \sum\limits_{i = 1}^N {{{Q_i } \over {T_i }}} \le 0$

Подведённое количество теплоты, квазистатически полученное системой, не зависит от пути перехода (определяется лишь начальным и конечным состояниями системы) - для квазистатических процессов неравенство Клаузиуса обращается в равенство^[1].

$\circ \sum\limits_{i = 1}^N \left( {{{Q_i } \over {T_i }}} \right)_{QuazistaticProcess} = 0$

Выведение

Частный случай: два тепловых резервуара

Пусть система I сообщается с тепловыми резервуарами $R_1$ и $R_2$ температур $T_1$ и $T_2$ соответственно. Безразлично, какой из них является нагревателем, а какой — холодильником (направление передачи тепла определяется знаком — положительным, если оно получено системой, и иначе отрицательным). Согласно второй теореме Карно КПД цикла Карно — максимальный; для системы I выполняется $1 + {{Q_2 } \over {Q_1 }} \le 1 - {{T_2 } \over {T_1 }}$. Отсюда следует частный случай^[2] неравенства Клаузиуса:

${{Q_1 } \over {T_1 }} + {{Q_2 } \over {T_2 }} \le 0$

(При обратимом процессе, в частности при цикле Карно, выполняется равенство.)

Общий случай: много тепловых резервуаров

Для получения неравенства Клаузиуса в общем виде можно рассмотреть систему A, работающую с n резервуарами температур $T_i$ и получающую от них тепло $Q_i$. Вводится дополнительный Резервуар температуры $T_0$. Между ним и остальными резервуарами запускаются машины Карно — по одной на каждый.

По вышедоказанному равенству для двухрезервуарной обратимой системы выполняется

${{Q_{0i} } \over {T_0 }} + {{Q'_i } \over {T_i }} = 0 \Rightarrow Q_0 = \sum\limits_{i = 1}^n {Q_i } = - T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q'_i } \over {T_i }}}$.

Циклы Карно проводятся таким образом, чтобы передавать резервуарам столько тепла, сколько они передали системе A: $Q'_i = - Q_i$. Тогда $Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}}$. Это тепло отдаст резурвуар температуры $T_0$, в то время как состояние остальных резервуаров вернётся к исходному. Следовательно, рассмотренный процесс эквивалентен процессу передачи тепла $Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}}$ резурвуаром температуры $T_0$ системе A, причём совокупность «система A — резервуар $T_0$» теплоизолирована. Следовательно, по первому началу термодинамики системой A совершена работа $Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}}$. В соответствии с формулировкой Томсона второго начала термодинамики эта работа не может быть положительной. Отсюда очевидно неравенство Клаузиуса в общем виде:

$\sum\limits_i^{} {{{Q_i } \over {T_i }}} \le 0$

Cледствия

Неравенство Клаузиуса даёт ввести понятие энтропии^[3].

Энтропия системы — функция её состояния, определённая с точностью до произвольной постоянной. Разность энтропий в двух равновесных состояниях 1 и 2 по определению равна приведённому количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути.

${S_{\rm{2}} - S_{\rm{1}} = \int\limits_{{\rm{1}} \to {\rm{2}}} {{{\partial Q} \over T}} }$

Из неравенства Клаузиуса и определения энтропии непосредственно следует эквивалентный второму началу термодинамики

Закон возрастания энтропии. Энтропия адиабатически изолированной системы либо возрастает, либо остаётся постоянной.

Примечания

1. ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
2. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).
3. ↑ Кириченко Н.А. 1.3.8. Неравенство Клаузиуса // Термодинамика, статистическая и молекулярная физика. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — С. 28-29. — 176 с. — ISBN 5-89155-130-6