Неравенство

О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.

В математике неравенство (≠) есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).

Типы неравенств

• запись $a < b$ означает, что a меньше, чем b;
• запись $a > b$ означает, что a больше, чем b.
• запись $a \neq b$ означает, что a не равно b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:

• запись $a \leqslant b$ означает, что a меньше либо равно b;
• запись $a \geqslant b$ означает, что a больше либо равно b.

Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

• запись $a \gg b$ означает, что a намного больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,≠.

Неравенство называется точным если его нельзя улучшить.

• Например $(x+1)^2+(x-1)^2\ge 2$ является точным, а $(x+1)^2+(x-1)^2\ge 0$ нет.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

• алгебраические
• трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство $18x < 414$ — алгебраическое, первой степени.

Неравенство $2x^2-7x+6 > 0$ — алгебраическое, второй степени.

Неравенство $2^x > x+4$ — трансцендентное.

Решение неравенств второй степени

Решение неравенства второй степени вида $ax^2+bx+c > 0$ или $ax^2+bx+c < 0$ можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция $f(x) = ax^2+bx+c$ принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Пример 1.

Решить неравенство $x^2-x-6\leqslant0$.

Решение. Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=x^{2}-x-6$. Для того чтобы решить это неравенство методом интервалов нам следует найти нули функции $f\left(x\right)$ и выбрать соответствующие интервалы, в которых она принимает отрицательные значения.

Итак, корни уравнения $x_{1}=3; x_{2}=-2$, наш искомый интервал: $x\in[-2;3]$.

Ответ: $x\in[-2;3]$.

Решение неравенств методом интервалов

Пусть у нас есть неравенство вида $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3(x)\cdot f_4(x)\cdot\ldots\cdot f_N(x) > 0$ Для его решения нам необходимо:

• разбить ось $OX$ на интервалы знакопостоянства
• поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале ($+$, если больше нуля, $-$ если меньше)
• выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства

Крайними точками интервалов будут $-\infty$, $+\infty$ и нули функций $f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x) \ldots f_N(x)$.

Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств

$\sqrt{f(x)} < g(x)\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) < g^2(x), \\ g(x) \geqslant 0, \\ f(x)\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

$\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{cc} \begin{cases} f\left(x\right)>\left(g\left(x\right)\right)^{2},\\ g\left(x\right)\geqslant0, \end{cases}\\ \begin{cases} f\left(x\right)>0,\\ g\left(x\right)\geqslant0 \end{cases} \end{array}\right.$

$\sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)}\Longleftrightarrow\begin{cases} f\left(x\right)<g\left(x\right),\\ f\left(x\right)>0 \end{cases}$

Пример 2.

Решить неравенство $\sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1}$.

Решение. Действуем по плану:

$\sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1}\Longleftrightarrow \begin{cases} x^{3}-x^{2}=x-1,\\ x-1\geqslant0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x^{2}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)>0,\\ x\geqslant1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x<1,\\ x\geqslant1 \end{cases}$

Из последней выкладки видно, что наше неравенство решений не имеет.

Ответ: Ø

Знаки неравенства

Русскоязычная традиция начертания знаков $\leqslant$ и $\geqslant$ отличается от принятой в англоязычной литературе.

Символ	Код в Юникоде	Название в Юникоде	Название	HTML шестн.	HTML десят.	HTML обозн.	LaTeX
$\leqslant$	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше либо равно	⩽	⩽	отсутствует	\leqslant
$\geqslant$	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше либо равно	⩾	⩾	отсутствует	\geqslant
$\le$	U+2264	Less-than or equal to	Меньше либо равно	≤	≤	≤	\le, \leq
$\ge$	U+2265	Greater-than or equal to	Больше либо равно	≥	≥	≥	\ge, \geq

Примечание

1. ↑ М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

См. также

• Числовые неравенства