Ковариантность и контравариантность

Ковариантность и контравариантность — математическое и физическое понятие, которое описывает то, как величины изменяются при преобразовании системы координат. Координаты геометрического вектора измеряются в какой-нибудь конкретной системе координат. Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в метрических пространствах, то есть в пространствах, где задан метрический тензор.

Основные сведения

Контравариантные координаты тензора принято записывать с верхним индексом, в отличие от записи с нижним индексом для ковариантных координат тензора.

Образец контравариантного вектора — это вектор смещения, записанный в виде набора приращений координат: $\ dx^i$.

Любой набор чисел, преобразующийся при любой замене координат так же, как $\ dx^i$ (новый набор через ту же матрицу выражаются через старый), представляет контравариантный вектор.

Следует заметить, что, если определён невырожденный метрический тензор, то «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать об ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

$\ v_i = g_{ij} v^j$

$\ v^i = g^{ij} v_j$

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Содержательно же вектора и ковектора различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов естественно разложение по дуальному базису, как например для градиента, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов, таких как dx ⁱ — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр $\ d\phi = (\partial_i \phi)dx^i$ — получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора $\ \partial_i \phi$, являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором $\ dx^i$, являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; тогда как сам с собой $\ dx^i$ свёртывается с помощью метрики: $\ (dx)^2 = g_{ij} dx^i dx^j$, что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения $\ dx^i$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с $\ dx^i$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор (1-форма), что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для 1-формы же — ковариантное.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат, естественных для представления контравариантного вектора).

Как видим, формально это определение описывает ковариантное представление, но содержательно описывает в качестве образца ковариантного вектора ковектор — 1-форму — градиент скаляра — для которой (как и для остальных 1-форм) именно это представление естественно^[1].

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Введение

В физике вектор обычно возникает в результате измерения или серии измерений и представляется в виде списка чисел

$(v_1,v_2,v_3).$

Этот список зависит от выбора системы координат. К примеру, если вектор представляет положение по отношению к наблюдателю, то часто система координат — это точка отсчёта и три взаимно ортогональные прямые, вдоль них измеряются компоненты радиус-вектора v₁, v₂, и v₃.

Определение

Общее определение ковариантности и контравариантности исходит из того, как компоненты объектов преобразуются при изменении базиса. Пусть V — векторное пространство размерности n над полем скаляров S, и пусть каждый из f = (X₁,…,X_n) и f' = (Y₁,…,Y_n) — базис V. Также, пусть изменение базиса из f в f′ даётся

$\mathbf{f}\mapsto \mathbf{f}' = \left(\sum_i a^i_1X_i,\dots,\sum_i a^i_nX_i\right) = \mathbf{f}A$ (1)

для некоторой обратимой n×n матрицы A с величинами $a^i_j$. Здесь, каждый вектор Y_j из f' базисов — это линейная комбинация векторов X_i из f базиса, поэтому

$Y_j=\sum_i a^i_jX_i$.

Контравариантные преобразования Вектор v в V представляется единственным образом как линейная комбинация элементов f базиса как $v = \sum_i v^i[\mathbf{f}]X_i$, (2) где vi[f] — это скаляры из S известные как компоненты v в f базисе. Обозначают вектор столбец компонентов v как v[f]: $\mathbf{v}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}v^1[\mathbf{f}]\\v^2[\mathbf{f}]\\\vdots\\v^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}$ поэтому (2) может быть переписано как произведение матриц $v = \mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}].$ Вектор v может также быть выражен в виде f' базиса, поэтому $v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}]$. Однако, так как вектор v сам инвариантен при изменении базиса, $\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}].$ Инвариантность v комбинирует с отношением (1) между f и f' обеспечивает $\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = \mathbf{f}A\, \mathbf{v}[\mathbf{f}A],$ что дает правило преобразования $\mathbf{v}[\mathbf{f}A] = A^{-1}\mathbf{v}[\mathbf{f}].$ В виде компонент, $v^i[\mathbf{f}A] = \sum_j \tilde{a}^i_jv^j[\mathbf{f}]$ где коэффициенты $\tilde{a}^i_j$ есть величины обратной матрицы кA. Потому, что компоненты вектора v преобразуются обратно к матрице A, про эти компоненты говорят, что они преобразуются контравариантно при преобразовании базиса.

Ковариантные преобразования Линейный функционал α на V представляется единственным образом в виде s компонент (скаляров в S) в f базисе как $\alpha_i[\mathbf{f}] = \alpha(X_i), \quad i=1,2,\dots,n.$ Эти компоненты есть действие α на базисные вектора Xi f базиса. При изменении базиса из f в f' (1), компоненты преобразуются как $\begin{array} {rcl} \alpha_i[\mathbf{f}A] & = & \alpha(Y_i) \\ & = & \alpha\left(\sum_j a^j_i X_j\right) \\ & = & \sum_j a^j_i \alpha(X_j) \\ & = & \sum_j a^j_i \alpha_j[\mathbf{f}] \end{array}$. (3) $\mathbf{\alpha}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}\alpha_1[\mathbf{f}]&\alpha_2[\mathbf{f}]&\dots&\alpha_n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}$ поэтому (Шаблон:EquationNote) может быть переписано как произведение матриц $\alpha[\mathbf{f}A] = \alpha[\mathbf{f}]A.$ Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются с матрицей преобразования A, говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

$\ v_i = g_{ij} v^j$

$\ v^i = g^{ij} v_j$

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам $dx^i$) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр $\ d\varphi = (\partial_i \varphi)\,dx^i$ получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора $\ \partial_i \varphi$, являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором $\ dx^i$, являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой $\ dx^i$ свёртывается с помощью метрики: $\ (dx)^2 = g_{ij}\, dx^i\, dx^j$, что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения $\ dx^i$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с $\ dx^i$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковектора, в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Алгебра и геометрия

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры есть смешаными, и не есть функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M это класс эквивалентности кривых M проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось, около P. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях координат. При рассмотрении координатных преобразований на многообразии как отображения многообразия в себя.

Программирование

См. Ковариантность и контравариантность (информатика)

Примечания

1. ↑ Естественность ковариантного представления 1-формы градиента означает, что ее естественное представление — набор частных производных $(\frac{\partial \phi}{\partial x^1},\frac{\partial \phi}{\partial x^2},\dots) \equiv \partial_i \phi$ — дает в скалярном произведении с контравариантным вектором $dx^i$ инвариант $d\phi = \partial_1 \phi \ dx^1 + \partial_2 \phi\ dx^2 + \dots = \partial_i \phi\ dx^i$ — полный дифференциал функции ф, конечно же, инвариантный (в последней формуле подразумевается суммирование по индексу i по правилу Эйнштейна).

См. также

• Метрический тензор

Литература

• Sternberg, Shlomo (1983), «Lectures on differential geometry», New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проверить качество перевода с иностранного языка. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.