Квантовое плотное кодирование

Квантовое плотное кодирование это техника, используемая в квантовой теории информации, позволяющая переслать два бита классической информации используя только один кубит, основанная на квантовом перепутывании

Обзор

Предположим Алиса хочет передать Бобу некоторое количество классической информации используя кубиты вместо классических битов. Для этого она кодирует классическую информацию в кубит и посылает его Бобу. По получении кубита, Боб восстанавливает классическую информацию при помощи измерения. Вопрос состоит в том, как много классической информации может быть при этом передано, используя один кубит. Поскольку невозможно гарантировано различать неортогональные квантовые состояния, может показаться, что Алиса не может передать больше чем один бит информации при помощи одного кубита. И действительно, это было доказано. Таким образом, использование кубитов вместо обычных битов не ведёт к какому-либо выигрышу. Однако, ситуация меняется, если Алиса и Боб имеют первоначально кубиты, находящиеся в перепутанном состоянии. В этом случае становится возможным при помощи одного кубита передать два бита классической информации. Термин плотный (иногда сверхплотный) соответствует именно этому удвоению эффективности.

Подробности

Принципиальной для возможности реализации этой процедуры является наличие разделённого квантового состояния между Алисой и Бобом, а также свойство (максимально) перепутанного состояния, состоящее в том, что оно может быть преобразовано в другое состояние при помощи локальных манипуляций.

Пусть части состояния Белла, например

$|\Psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B)$

распределены между Алисой и Бобом. Первая подсистема, обозначаемая индексами А, принадлежит Алисе, а вторая, B, Бобу. Проводя локальные манипуляции со своей частицей, Алиса может преобразовать композитную систему в любое из состояний Белла (Это является вполне ожидаемым, так как перепутывание не может быть разрушено при помощи локальных операций):

• Очевидно, что если Алиса ничего не делает, система остаётся в состоянии $|\Psi^+\rangle$.

• Если Алиса проводит свою частицу через унитарный гейт:

$\sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

(отметим, что это одна из матриц Паули), двухчастичная система приобретает состояние

$( \sigma_1 \otimes I ) |\Psi^+\rangle = |\Phi^+\rangle .$

• Если σ₁ заменяется на σ₃, начальное состояние $|\Psi^+\rangle$ переходит в $|\Psi^-\rangle$.

• Аналогично, Если Алиса применит $i \sigma_2 \otimes I$ к системе, итогом будет $|\Phi^-\rangle$

Таким образом, в зависимости от сообщения, которое она желает послать, Алиса выполняет одну из этих четырёх локальных операций и посылает свой кубит Бобу. Боб же, выполняя проективные измерения в базисе Белла декодирует полученное сообщение.

Заметим однако, что если Ева перехватит кубит Алисы по пути к Бобу, всё что она получит - элемент перепутанного состояния. То есть, не имея доступа к кубиту Боба, она не сможет получить никакой полезной информации.

Общая схема квантового плотного кодирования

Общая схема квантового плотного кодирования может быть сформулирована на языке квантовых каналов. Алиса и Боб имеют общее перепутанное состояние ω, то есть

$\omega \in H \otimes H$

с максимальной степенью перепутывания

$\begin{bmatrix} \frac{1}{n} & \; & \; \\ \; & \ddots \; \\ \; & \; & \frac{1}{n} \end{bmatrix}$

- её частичный след. Пусть подсистему, первоначально находящиеся у Алисы и Боба обозначены 1 и 2 соответственно. Для передачи сообщения x, Алиса применят соответствующий канал:

$\; \Phi_x$

к подсистеме 1. Для комбинированной системы, это проявляется как

$\omega \rightarrow (\Phi_x \otimes Id)(\omega)$

где Id означает карту идентичности подсистемы 2. Алиса затем посылает свою подсистему Бобу, который производит измерение совокупной системы для декодирования сообщения. Пусть эффект этого измерения F_y. Вероятность того, что Боб при измерении получит сообщение y равна

$\operatorname{Tr}\; (\Phi_x \otimes Id)(\omega) \cdot F_y .$

Таким образом, что бы передать требуемое сообщение, необходимо

$\operatorname{Tr}\; (\Phi_x \otimes Id)(\omega) \cdot F_y = \delta_{xy}$

где δ_xy -- символ Кронейкера.

Ссылки

• C. Bennett and S.J. Wiesner. Communication via one- and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states. Phys. Rev. Lett., 69:2881, 1992

Связать^?