Арифметическая прогрессия это:

Арифметическая прогрессия

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

a_1,\  a_1+d,\  a_1+2d,\   \ldots,\   a_1+(n-1)d, \ \ldots,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага или разности прогрессии):

a_n=a_{n-1} + d \quad

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1 + (n-1)d

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения a_{n+1}-a_n=d для членов арифметической прогрессии.

Содержание

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле

a_n=a_1+(n-1)d, где a_1 — первый член прогрессии, d — ее разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность a_1, a_2, a_3, \ldots есть арифметическая прогрессия \Leftrightarrow для ее элементов выполняется условие a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n может быть найдена по формулам

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, a_n — член с номером n, n — количество суммируемых членов.
S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — количество суммируемых членов.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия a_1, a_2, a_3, \ldots расходится при d\ne 0 и сходится при d=0. Причем

\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0  \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть a_1, a_2, a_3, \ldots — арифметическая прогрессия с разностью d и число a>0. Тогда последовательность вида a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

  • Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5, \ldots — это арифметическая прогрессия, в которой первый член a_1=1, а разность d=1.
  • 1, -1, -3, -5, -7 — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой a_1=1 и d=-2.
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу a, то это есть арифметическая прогрессия, в которой a_1=a и d=0. В частности, \pi, \pi, \pi, \ldots есть арифметическая прогрессия с разностью d=0.
  • Сумма первых n натуральных чисел выражается формулой
1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Арифметическая прогрессия" в других словарях:

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, из которых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа а, называемого разностью арифметической прогрессии; напр., 2, 5, 8, 11...; а = 3 …   Большой Энциклопедический словарь

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается путем добавления постоянной величины (простая разность d) к предыдущему члену. Общий вид такой последовательности: а, а+d, a+2d... и т.д. Сумма… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — ряд чисел, в котором разность между членами любой пары одна и та же; нпр., восходящая а. пр. 2, 7, 12, 17, 22, 27 и т. д., нисходящая 10, 8, 6, 4, 2. В этих случаях 5 и 2 наз. разностью ар. прогрессии. Полный словарь иностранных слов, вошедших в… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — (arithmetic progression) Числовая последовательность (series), в которой каждый последующий член может быть получен путем добавления к предыдущему некой константы. Например, если x1=а, х2=а+b, х3=а+2b, то xN=а+(N–1)b. Экономика. Толковый словарь …   Экономический словарь

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, в которой разность (неизменное число d) между последующим и предыдущим членами остаётся постоянной для данной прогрессии и называется разностью d А. п.; напр. в прогрессии 12, 15, 18, 21... разность d = З. При d>О А. п.… …   Большая политехническая энциклопедия

  • арифметическая прогрессия — последовательность чисел, из которых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, называемое разностью арифметической прогрессии; например, 2, 5, 8, 11...; d = 3. * * * АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ… …   Энциклопедический словарь

  • Арифметическая прогрессия — А. прогрессия есть ряд чисел, из которых каждое последующее разнится от предыдущего на одну и ту же величину, например 1, 4, 7, 10,… А. прогрессии могут быть возрастающие или убывающие и состоят из ряда явно выраженных чисел или буквенных… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Арифметическая прогрессия —         последовательность чисел (a1, a2, ..., an), из которых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, наз. разностью А. п. (например, 2, 5, 8, 11, ... ; d = 3). Если d > 0, то А. п. называется возрастающей,… …   Большая советская энциклопедия

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — арифметический ряд 1 го порядка, последовательность чисел, в к рой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, наз. разностью этой А. п. Таким образом, каждая А. п. имеет вид: общий член Характеристич …   Математическая энциклопедия

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, из к рых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением пост. числа d, наз. разностью А. п.; напр., 2, 5, 8, 11...; d = 3 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Арифметическая прогрессия» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»