Сортировка с помощью двоичного дерева

Пример двоичного дерева

Сортировка с помощью двоичного дерева (сортировка двоичным деревом, сортировка деревом, древесная сортировка, сортировка с помощью бинарного дерева, англ. tree sort) — универсальный алгоритм сортировки, заключающийся в построении двоичного дерева поиска по ключам массива (списка), с последующей сборкой результирующего массива путём обхода узлов построенного дерева в необходимом порядке следования ключей. Данная сортировка является оптимальной при получении данных путём непосредственного чтения с потока (например с файла, сокета или консоли).

Алгоритм

1. Построение двоичного дерева.

2. Сборка результирующего массива путём обхода узлов в необходимом порядке следования ключей.

Эффективность

Процедура добавления объекта в бинарное дерево имеет среднюю алгоритмическую сложность порядка O(log(n)). Соответственно, для n объектов сложность будет составлять O(n log(n)), что относит сортировку с помощью двоичного дерева к группе «быстрых сортировок». Однако, сложность добавления объекта в разбалансированное дерево может достигать O(n), что может привести к общей сложности порядка O(n²).

При физическом развёртывании древовидной структуры в памяти требуется не менее чем 4n ячеек дополнительной памяти (каждый узел должен содержать ссылки на элемент исходного массива, на родительский элемент, на левый и правый лист), однако, существуют способы уменьшить требуемую дополнительную память.

Примеры реализации

В простой форме функционального программирования на Haskell данный алгоритм будет выглядеть так:

data Tree a = Leaf | Node (Tree a) a (Tree a)
 
insert :: Ord a => a -> Tree a -> Tree a
insert x Leaf = Node Leaf x Leaf
insert x (Node t y t') | x <= y = Node (insert x t) y t'
insert x (Node t y t') | x > y = Node t y (insert x t')
 
flatten :: Tree a -> [a]
flatten Leaf = []
flatten (Node t x t') = flatten t ++ [x] ++ flatten t'
 
treesort :: Ord a => [a] -> [a]
treesort = flatten . foldr insert Leaf

Реализация на C++:

#include <set>       
#include <algorithm> 
#include <iterator>  
 
template <typename Iterator>
void binary_tree_sort(Iterator begin, Iterator end) {
    std::multiset<typename std::iterator_traits<Iterator>::value_type> tree(begin, end);
    std::copy(tree.begin(), tree.end(), begin);
};

Пример создания бинарного дерева и сортировки на языке Java:

// Скомпилируйте и введите java TreeSort
class Tree {
   public Tree left;            // левое и правое поддеревья и ключ
   public Tree right;
   public int key;
 
   public Tree(int k) {        // конструктор с инициализацией ключа
      key = k;
   }
 
/*  insert (добавление нового поддерева (ключа))
    сравнить ключ добавляемого поддерева (К) с ключом корневого узла (X).
    Если K>=X, рекурсивно добавить новое дерево в правое поддерево.
    Если K<X, рекурсивно добавить новое дерево в левое поддерево.
    Если поддерева нет, то вставить на это место новое дерево
*/
   public void insert( Tree aTree) {
     if ( aTree.key < key )
        if ( left != null ) left.insert( aTree );
        else left = aTree;
     else
        if ( right != null ) right.insert( aTree );
        else right = aTree;
   }
 
/*  traverse (обход)
    Рекурсивно обойти левое поддерево.
    Применить функцию f (печать) к корневому узлу.
    Рекурсивно обойти правое поддерево.
*/
   public void traverse(TreeVisitor visitor) {
      if ( left != null) 
            left.traverse( visitor );
 
      visitor.visit(this);
 
      if ( right != null ) 
            right.traverse( visitor );
   }
}
 
interface TreeVisitor {
  public void visit(Tree node);
};
 
class KeyPrinter  implements TreeVisitor {
  public void visit(Tree node) {
      System.out.println( " " + node.key );
  }
};
 
public class TreeSort {
  public static void main(String args[]) {
     Tree myTree;
     myTree = new Tree( 7 );       // создать дерево (с ключом)
     myTree.insert( new Tree( 5 ) );  // присоединять поддеревья
     myTree.insert( new Tree( 9 ) );
     myTree.traverse(new KeyPrinter());
  }
}

См. также

• Двоичное дерево поиска

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.