Проективное преобразование

Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые.

Определение

Проективное преобразование — это взаимно-однозначное отображение $\phi~$ проективного пространства на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного множества всех подпространств.

Проективное преобразование прямой — биективное преобразование прямой, переводящее гармоническую четверку точек в гармоническую четверку точек.

Проективное преобразование плоскости — это взаимно-однозначное отображение $\phi\colon\pi\to\pi$ проективной плоскости $\pi$ на себя, при котором для любой прямой $l\subset\pi$ образ $\phi(l)~$ также является прямой.

Свойства

• Проективное преобразование сохраняет двойное отношение.
• Проективное преобразование является взаимно однозначным отображением множества точек проективной плоскости, а также является взаимно однозначным отображением множества лучей пучка с центром P.
• Отображение, обратное проективному, является проективным отображением. Композиция проективных отображений является проективным. То есть множество проективных отображений образует группу.
• Центральное проектирование - частный случай проективного преобразования.
• Аффинное преобразование является частным случаем проективного.
• Каждая прямая плоскости при проективном преобразовании плоскости отображается проективно на некоторую прямую. Каждый пучок лучей плоскости проективно отображается на пучок лучей.
• Проективное преобразование плоскости определяется заданием четырех пар соответствующих по отображению точек, причем никакие три точки из четверки образов или прообразов не лежат на одной прямой. При нетождественном отображении число неподвижных точек не более трех.
• Каждое проективное преобразование плоскости является линейным преобразованием с ненулевым определителем. В проективных координатах оно представляется уравнениями:

$\begin{cases} \lambda x_1' = c_{11}x_1+c_{12}x_2+c_{13}x_3 \\ \lambda x_2' = c_{21}x_1+c_{22}x_2+c_{23}x_3 \\ \lambda x_3' = c_{31}x_1+c_{32}x_2+c_{33}x_3 \end{cases}$

причем $\det (c_{ij}) \neq 0$.

Инволюция

Проективное преобразование $\phi~$ называется инволюцией, если для любой точки P верно, что $\phi (\phi(P))=P~$.

Если $\phi~$ - инволюция, то $\phi ^{-1} = \phi~$.

Если проективное преобразование $\phi~$ прямой имеет хотя бы одну такую точку P, что $\phi (\phi(P))=P~$, то $\phi~$ - инволюция.

Если нетождественная инволюция проективной прямой имеет неподвижные точки, то их число равно либо двум, либо нулю. Инволюция, имеющая 2 неподвижные точки, называется гиперболической. Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.

Инволюция определяется заданием двух пар соответствующих точек.

Коллинеация

Коллинеацией называется проективное преобразование, переводящее точки в точки, прямые в прямые и сохраняющее отношение инцидентности точек и прямых, а также двойное отношение любой четверки коллинеарных точек точек. Коллинеации образуют группу. Требование сохранения двойного отношения четверки коллинеарных точек избыточно, но это сложно доказывается. Коллинеации рассматривают вместе с корреляциями, проективными преобразованиями, переводящими точки в прямые, а прямые в точки.

Перспектива

Пусть на проективной плоскости имеются 2 различные прямые $u_1, u_2~$ и не принадлежащая им точка S. Преобразование $\psi~$ проективной плоскости называется перспективой, если $\psi : u_1 \to u_2~$ и для любюй точки $A \in u_1~$ точки $S,A, \psi (A)~$ коллинеарны.

Перспективное отображение биективно, сохраняет точку пересечения прямых $u_1, u_2~$ и сохраняет двойное отношение четверки точек.

Гомология

Гомологией называется нетождественная коллинеация, для которой существует поточечно неподвижная прямая p, называемая осью гомологии.

Для всякой гомологии существует неподвижная точка P (центр гомологии), обладающая тем свойством, что всякая инцидентная ей прямая неподвижна. Кроме центра P и точек оси p гомология неподвижных точек не имеет. Если $P \in p~$, то гомология называется параболической, иначе - гиперболической.

При гомологии плоскости точка и ее образ лежат на одной прямой с центром гомологии, а прямая и ее образ пересекаются на оси гомологии.

Гомологию можно задать центром, осью и парой соответственных прямых. Гомологию можно также задать центром, осью и т.н. константой гомологии, отличной от $0,1,\infty~$.

Инволюционная гомология имеет константу гомологии равную -1.

Литература

• Д. А. Граве Гомография // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• П. С. Александров Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.
• Р. Хартсхорн. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?
• Н. В. Ефимов Высшая геометрия. — ФизМатЛит, 2003.
• С. Л. Певзнер Проективная геометрия. Учебное пособие по курсу "Геометрия" для студентов- заочников II-III курсов физико-математических факультетов. — М.: Просвещение, 1980.

См. также

• Двойное отношение
• Проективная геометрия
• Проективная плоскость
• Проективные координаты