Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,$

в котором коэффициенты ${a_n}$ принадлежат некоторому кольцу ${R}$. В отличие от степенных рядов в анализе формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и соответственно не имеет смысла сходимость таких рядов для числовых аргументов. Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике.

Неформальное описание

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Алгебраические операции

В $R[[X]]$ можно следующим образом определить сложение, умножение, формальное дифференцирование и формальную суперпозицию. Пусть:

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, \qquad G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, \qquad H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.$

Тогда:

$H = F + G \iff \forall n \, c_n = a_n + b_n$

$H = F \,\cdot\, G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l$

$H = F \circ G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s}$ (при этом необходимо, чтобы $b_0=0$)

$H = F' \iff \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}$

Таким образом, формальные степенные ряды образуют кольцо.

Топология

Во множестве $R[[X]]$ также можно задать топологию, что порождается следующей метрикой:

$d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},\,\!$

где k наименьшее натуральное число такое, что a_k ≠ b_k;

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд:

$\sum_{n=0}^\infty a_n X^n$

в R[[X]] является обратимым в R[[X]] тогда и только тогда, когда a₀ является обратимым в R. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен $a_0b_0$, и достаточным, поскольку коэффициенты тогда определяются по формуле:

$\begin{align}b_0 &= \frac{1}{a_0}\\ b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}\qquad \forall n \,n \ge 1. \end{align}$

Свойства

• Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы M, для которых M ∩ R является максимальним идеалом в R и M есть порождение X и M ∩ R.
• Если R является локальным кольцом, то локальным кольцом является также R[[X]]
• R — Нётерово кольцо, то также R[[X]] является кольцом Нётер .
• Если R — область целостности, то R[[X]] также будет областью целостности.
• Метрическое пространство (R[[X]], d) является полным.
• Кольцо R[[X]] является компактным тогда, когда кольцо R является конечным.

См. также

• Степенной ряд
• Производящая функция последовательности

Ссылки

• Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.