Теорема Барбье

Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Эмиля Барбье, описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка

Теорема.

Длина любой кривой постоянной ширины $a$ равна $\pi a$.

Доказательства

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

• Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины $a$, если и только если сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса $a$. С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса $a$, то есть $\pi a$.^[1]
• Основанное на теории вероятностей. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии $d$ друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной $\frac{L}{\pi d}$, где $L$ — периметр этой фигуры^[2][3]. Поскольку фигура постоянной ширины $a$ удовлетворяет условию этой теоремы для $d=a$, а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться $\pi a$.^[4]

Вариации и обобщения

• Теорема Барбье так же выполняется для фигур постоянной ширины в плоскости Минковского.
• Формула Крофтона (англ.)

Примечания

1. ↑ Bogomolny A. The Theorem of Barbier  (англ.). Cut The Knot. Архивировано из первоисточника 4 февраля 2012.
2. ↑ Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286.
3. ↑ Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand (англ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55. — № 6. — P. 501-524. — DOI:10.1007/s004070100038
4. ↑ Bogomolny A. Math Surprises: An Example  (англ.). Cut The Knot. Архивировано из первоисточника 4 февраля 2012.

Литература

• Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286.
• Bogomolny A. The Theorem of Barbier  (англ.). Cut the Knot. Архивировано из первоисточника 4 февраля 2012.
• Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 1-4020-0609-8  (англ.)
• Weisstein, Eric W. Barbier's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.