Соотношение Безу

Соотношение Безу

В теории чисел соотноше́ние Безу́ — соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу:

Пусть a, b — целые числа, хотя бы одно из которых не нуль. Тогда существуют такие целые числа x, y, что выполняется соотношение:

НОД(a,b) = x·a + y·b.

Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами.

Соотношение НОД(a,b) = x·a + y·b называется соотношением Безу (для чисел a и b), а целые числа x, y — коэффициентами Безу.

Содержание

Пример

НОД(12, 30) = 6. Соотношение Безу имеет вид:

6=3 \cdot 12 + (-1) \cdot 30

Следствие

Если числа a, b взаимно простые, то уравнение:

ax+by=1

имеет целочисленные решения. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.

Свойства

  • НОД(a, b) является наименьшим натуральным числом, которое может быть представлено в виде линейной комбинации чисел a и b с целыми коэффициентами.
  • Для практического вычисления коэффициентов x, y можно использовать алгоритм Евклида. Его последний шаг связывает НОД с промежуточными остатками от деления, которые, если по очереди подставить все их значения из вышележащих строк, свяжут НОД непосредственно с первоначальными числами.
  • Коэффициенты Безу x, y определены неоднозначно — если какие-то их значения известны, то всё множество коэффициентов даётся формулой:
     \left\{ \left(x+\frac{kb}{d},\ y-\frac{ka}{d}\right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\},
где d = НОД(a, b).

Обобщения

  • Соотношение Безу легко обобщается на случай, когда имеется более двух чисел:

Пусть a_1, …, a_n — целые числа, не все равные нулю. Тогда существуют такие целые числа x_1, …, x_n, что выполняется соотношение:

НОД(a_1, …, a_n) = x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n


  • Соотношение Безу может иметь место не только для целых чисел, но и в других коммутативных кольцах. Такие кольца называются кольцами Безу. Пример: формулировка для кольца многочленов:

Пусть \left(P_i\right)_{i\in I} — какое-либо семейство многочленов, и не все они равны нулю. Обозначим \Delta их наибольший общий делитель. Тогда существует такое семейство многочленов \left(A_i\right)_{i\in I}, что выполняется соотношение:

\Delta = \sum_{i\in I} A_iP_i


История

Впервые данный факт опубликовал в 1624 году французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак для случая взаимно простых чисел[1]. Этьен Безу в конце XVIII века обобщил теорему, распространив её на кольцо многочленов.

См. также

Примечания

  1. Claude Gaspard Bachet, sieur de Méziriac Problèmes plaisants et délectables // Problemes plaisans, qui se font par nombres. — 2nd ed.. — Pierre Rigaud & Associates, 1624. — P. 18-33.

Литература

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Соотношение Безу" в других словарях:

  • Безу, Этьенн — Этьенн Безу Этьенн Безу (фр. Étienne Bézout; 31 марта 1730, Немур  27 сентября 1783, Бас Лож близ Ф …   Википедия

  • Алгоритм Евклида — Имеется викиучебник по теме « …   Википедия

  • Евклида алгоритм — Алгоритм Евклида  алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел или наибольшей общей меры двух однородных величин. Содержание 1 История 2 Алгоритм Евклида для целых чисел …   Википедия

  • Расширенный алгоритм Евклида — Алгоритм Евклида  алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел или наибольшей общей меры двух однородных величин. Содержание 1 История 2 Алгоритм Евклида для целых чисел …   Википедия

  • Лемма Евклида — Лемма Евклида  классический результат элементарной теории чисел. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида. Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y. Доказательство… …   Википедия

  • Взаимно простые числа — Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5). Наглядное представление: если на плоскости построить… …   Википедия

  • Взаимная простота — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также …   Википедия

  • Взаимно-простые числа — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также …   Википедия

  • Попарно взаимно просты — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также …   Википедия

  • Список эпизодов сериала «4исла» — «4исла» (англ. Numb3rs)  детективный телевизионный сериал, созданный Николасом Фалаччи и Шерил Хьютон. Премьера телесериала состоялась 23 января 2005 года, 18 мая 2010 года CBS закрыл сериал …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»