Точка округления

Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика; название «омбилика» происходит от лат. «umbilicus» ― «пуп») ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.

Свойства

Омбилические точки и сеть линий кривизны поверхности. В случае общего положения существуют три топологические различные типа особенности, называемые лимон, звезда и монстар.^[1]

В точке округления:

• главные кривизны поверхности $\lambda_1$ и $\lambda_2$ совпадают.
• любая точка округления является эллиптической точкой поверхности $(\lambda_1 = \lambda_2 \neq 0$ $\Rightarrow$ $H=\lambda_1\cdot \lambda_2 >0)$, либо является так называемой плоской омбиликой $(\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ $\Leftrightarrow$ $H=K=0)$. Символы $H$ и $K$ означают гауссову и среднюю кривизну поверхности, соответственно.
• первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны.
• любое касательное направление является главным направлением.
• соприкасающийся параболоид является параболоидом вращения.
• индикатриса Дюпена является окружностью.
• сеть линий кривизны (т.е. линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности), имеет особенность.

Примеры

В евклидовом пространстве с метрикой $ds^2 = dx^2+dy^2+dx^2$:

• Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
• Трёхосный эллипсоид с попарно различными осями имеет ровно 4 точки округления, все они являются эллиптическими.
• Плоскость целиком состоит из плоских омбилик.
• Обезьянье седло имеет изолированную точку округления с нулевой гауссовой кривизной в начале координат.

Обобщение

Пусть $M$ ― гладкое многообразие произвольной размерности $n \ge 2$ в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке $x\in M$ определены $n$ собственных значений $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении $TM$. Точка $x\in M$ называется омбиликой, если в ней набор $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик точек имеет коразмерность 2, т.е. задается на $M$ двумя независимыми уравнениями.^[2] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы ($\dim=2-2=0$), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую ($\dim=3-2=1$).

Литература

• Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С.П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
• Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.

Примечания

1. ↑ Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131–170.
2. ↑ Арнольд В.И. Математические методы классической механики, ― Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров).