Групповая скорость

Дисперсия водных волн (красные точки движутся со скоростью фазы, зелёные - с групповой скоростью). В данном случае фазовая скорость в два раза превышает групповую.

Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн). В случае рассмотрения распространения волн в пространстве размерностью больше единицы подразумевается как правило волновой пакет близкий по форме к плоской волне.

Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьёзных уточнений и оговорок).

Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля итп). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).

Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:

$v_{gr} = d\omega/dk\,$,

где $\omega$ — угловая частота, $k$ — волновое число.

Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору $\vec k$:

$\vec v_{gr} = \nabla_\vec k \omega$

или (для трехмерного пространства):

$(v_{gr})_x = \partial\omega/\partial k_x,$

$(v_{gr})_y = \partial\omega/\partial k_y,$

$(v_{gr})_z = \partial\omega/\partial k_z.$

• Замечание: групповая скорость вообще говоря зависит от волнового вектора (в одномерном случае - от волнового числа), то есть вообще говоря различна для разной величины и для разных направлений волнового вектора.

Частные случаи

В одномерных средах без дисперсии групповая скорость формально совпадает с фазовой скоростью лишь в случае одномерных волн.

В диссипативных (поглощающих) средах групповая скорость уменьшается с увеличением частоты в случае нормальной дисперсии фазовой скорости и, наоборот, увеличивается в средах с аномальной дисперсией.

Если дисперсионные свойства среды таковы, что волновой пакет распространяется в ней без существенных изменений формы своей огибающей, групповая скорость обычно может быть интерпретирована как скорость переноса «энергии» волны и скорость, с которой могут быть переданы с помощью волнового пакета сигналы, несущие информацию, (то есть «скорость распространения причинности»).

В классическом пределе квантовомеханических уравнений скорость классической частицы представляет собой значение групповой скорости соответствующей квантовомеханической волновой функции. Одно из пары канонических уравнений Гамильтона:

$\dot q_i = \partial H / \partial p_i$

— есть, таким образом, классический предел приведенного выше выражения для групповой скорости; это особенно ясно в декартовых координатах, учитывая $\vec p = \hbar \vec k,\ H(p,q) = \hbar \omega(k,q).$

История

Идея групповой скорости, отличающейся от фазовой скорости волны, впервые предложена Гамильтоном в 1839 году. Первое достаточно полное рассмотрение сделано Рэлеем в его "Теории звука" ("Theory of Sound") в 1877.^[1]

Литература

1. ↑ Brillouin, Léon (1960), «Wave Propagation and Group Velocity», New York: Academic Press Inc., OCLC 537250 

• Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир. — 1977.
• Ablowitz M.J. & Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. — SIAM Philadelphia. — 1981.
• Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Oscillations and waves in linear and nonlinear systems. — Kewver-Academic Publ., Amsterdam. — 1989.
• Ostrovsky L.A. and Potapov A.I. Modulated Waves. Theory and Applications. — Jonh Hopkins Uni Press, Baltimore — London. — 1999.

Скорости волн
Групповая скорость | Фазовая скорость | Фронтовая скорость | Сигнальная скорость