Случайное множество

Случайное множество — измеримое отображение $K$ семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ в некоторое пространство $\mathcal{M}$, элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если $\mathcal{M}$ — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

• $\mathcal{M}=\mathcal{F}$ — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства $S$, называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
• $\mathcal{M}=\mathcal{O}$ — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
• $\mathcal{M}=\mathcal{H}$ — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам^[1]
• $\mathcal{M}=\mathcal{K}$ — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
• $\mathcal{M}={\rm conv}(\mathcal{K})$ — подпространство выпуклых элементов $\mathcal{K}$, при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множества, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множетсво $K$ со свойством $K = \overline{K \cap D}$, где $D$ счётно и всюду плотно в $S$.

Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»^[2]; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т.п.).

Литература

1. ↑ Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
2. ↑ Kendall D.G. (1974) в кн: Stochastic geometry, N.Y.

• Choquet G. (1953-54) «Ann.Inst.Fourier», t.5, р. 131-295;
• Ляшенко Н.Н. (1999) Случайное множество. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: БРЭ.