Случайное компактное множество

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Пусть $\mathcal{K}$ множество всех компактных подмножеств $\mathbb{R}^2$. На $\mathcal{K}$ определяется хаусдорфова метрика $h:$

$h(K_1, K_2) = \inf\left\{\varepsilon > 0 : K_1 \subseteq K_2 \bigoplus b(0,\varepsilon),K_2 \subseteq K_1 \bigoplus b(0, \varepsilon)\right\}.$

С метрикой $h$, $\mathcal{K}$ — полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают $\sigma$-алгебру, -алгебру $\mathfrak{B}_K$ множества $\mathcal{K}$.

Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ в измеримое пространство $(\mathcal{K}, \mathfrak{B}_K)$. Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

$\mathbf{P}(X \cap K = \emptyset), \ \ \ K \in \mathcal{K}.$

Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения $\mathbf{P}(X \subset K).$

Для $K=\{x\}$ определена вероятность $\mathbf{P}(x \in X)$, которая удовлетворяет соотношению:

$\mathbf{P}(x \in X) = 1-\mathbf{P}(x \not\in X).$

Таким образом функция покрытия дается формулой

$p_X(x) = \mathbf{P}(x \in X), \ \ \ x \in \mathbb{R}^2.$

Разумеется, $p_X(x)$ может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции $\mathbf{1}_X(x):$

$p_X(x) = \mathbf{E} \mathbf{1}_X(x).$

Функция покрытия принимает значения между $0$ и $1$. Множество $b_X$ всех $x \in \mathbb{R}^2$ с $p_X(x)>0$ называется базой $X.$ Множество $k_X$ всех $x \in \mathbb{R}^2$ с $p_X(x)=1$ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом $e(X)$. Если $X_1, X_2, \ldots$ — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное

$\bigcap_{i=1}^\infty X_i = e(X)$

и $\bigcap_{i=1}^\infty X_i$ сходится почти наверное к $e(X).$

Литература

• Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.