Числа с фиксированной точкой

Число с фиксированной запятой — формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой

$x = x' \cdot z$,

где z — цена младшего разряда.

Простейший пример арифметики с фиксированной запятой — перевод рублей в копейки. В таком случае, чтобы запомнить сумму 12 рублей 34 копейки, мы записываем в ячейку памяти число 1234.

В случае, если z < 1, для удобства расчётов делают, чтобы целые числа кодировались без погрешности. Другими словами, выбирают целое число u (машинную единицу) и принимают $z = \frac 1 u$. В случае, если z > 1, его делают целым.

Если не требуется, чтобы какие-либо конкретные дробные числа входили в разрядную сетку, программисты обычно выбирают z = 2 ^{− f} — это позволяет использовать в операциях умножения и деления битовые сдвиги. Про такую арифметику говорят: «f битов на дробную часть, i=n−f — на целую» и обозначают как «i,f» или «i.f» Например: арифметика 8,24 отводит на целую часть 8 битов и 24 — на дробную. Соответственно, она способна хранить числа от −128 до 128−z с ценой младшего разряда $z = 2^{-24} = 5{,}96 \cdot 10^{-8}$.

Для угловых величин зачастую делают $z=2 \pi \cdot 2^{-f}$ (особенно если тригонометрические функции вычисляются по таблице).

Название

Название «фиксированная запятая» произошло из-за простой метафоры: между двумя заранее определёнными разрядами ставится запятая, превращая, например, целое число 1234 в дробное 12,34.

Иногда говорят «фиксированная точка» (англ. fixed-point representation): в английской традиции целая часть от дробной отделяется точкой.

Применение

• Для ускорения вычислений в местах, где не требуется высокая точность. В большинстве современных процессоров ФЗ аппаратно не реализована, но даже программная ФЗ очень быстра — поэтому она применяется в разного рода игровых движках, растеризаторах^[1] и т. д. Например, движок Doom для измерения расстояний использует фиксированную запятую 16,16, для измерения углов — 360°=65536.
• Чтобы обеспечить минимальную поддержку дробных чисел на целочисленном процессоре — микроконтроллера, мобильного телефона, приставок вплоть до Playstation и т. д. Если не решаются некорректные задачи и СЛАУ высокого порядка, фиксированной запятой зачастую достаточно — важно только подобрать подходящую цену младшего разряда для каждой из величин.
• Для записи чисел, которые по своей природе имеют постоянную абсолютную погрешность: координаты в программах вёрстки, денежные суммы.
  • Кроме того, фиксированная запятая ведёт себя абсолютно предсказуемо — при подсчёте денег это позволяет наладить разные виды округления, а в играх — наиболее простой способ реализовать мультиплеер и запись повторов.

Недостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполнения на одном конце диапазона и потерей точности вычислений на другом. Эта проблема и привела к изобретению плавающей запятой. Например: если нужна точность в 3 значащих цифры, 4-байтовая фиксированная запятая даёт диапазон в 6 порядков (то есть, разница приблизительно 10⁶ между самым большим и самым маленьким числом), 4-байтовое число одинарной точности — в 70 порядков.

Операции

• Сложение и вычитание чисел с фиксированной запятой — это обычные сложение и вычитание: $(x \pm y)' = x' \pm y' \,$.
• Умножение и деление отличаются от целочисленных на константу.

  $(x \cdot y)' = \left[ x' \cdot y' \cdot z \right] = \left[ \frac {x' \cdot y'} u \right]$

  $\left(\frac x y \right)' = \left[ \frac {x'} {z \cdot y'} \right] = \left[ \frac {x' \cdot u} {y'} \right]$,

  где [] — операция округления до целого. В частности, если в дробной части f бит:

  $(x \cdot y)' = (x' \cdot y') \, \operatorname{shr} \, f, \,\,\,\, \left(\frac x y \right)' = \frac {x' \, \operatorname{shl} \, f} {y'}$.

• Для других операций, помимо обычных рядов Тейлора и итерационных методов, широко применяются вычисления по таблице.

Если операнды и результат имеют разную цену младшего разряда, формулы более сложны — но иногда такое приходится делать из-за большой разницы в порядке величин.

Для перевода чисел из формата с фиксированной запятой в человекочитаемый формат и наоборот применяются обычные правила перевода дробных чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Примечания

1. ↑ Числа с фиксированной точкой. Применение в компьютерной графике