Стереографическая проекция это:

Стереографическая проекция
Карта поверхности Земли в стереографической проекции

Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

Содержание

Определение

Стереографическая проекция

Плоскость касается сферы в некоторой точке \,O (на приведённом рисунке это южный полюс сферы), центром проекции является точка \,O', диаметрально противоположная \,O (на рисунке точка \,O' — северный полюс сферы). Через каждую точку A \neq O' сферы проходит единственная прямая, соедининяющая \,A и \,O'. Эта прямая пересекает плоскость в единственной точке \,B, которая, таким образом, является образом точки \,A при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой \,O' на плоскость.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки \,O'. Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом \infty. Плоскость, дополненная элементом \infty, называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза \,A \to O' его образ \,B \to \infty.

Свойства

  • Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции O'.
  • Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.
  • Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплескной проективной прямой \mathbb{C} \mathrm{P}^1 на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем \mathbb{R}) вещественную плоскость с координатами x,y как одномерную (над полем \mathbb{C}) прямую комплексного переменного z=x+iy.

Обобщение на высшие размерности

Стереографическая проекция Ромбоусечённой 24-ячейки (англ.)русск.

Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и Eгиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки PSn − {Q} является точка P пересечения линии \scriptstyle\overline{QP} с E.

История

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Сферическая панорама в стереографической проекции

В фотографии

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

См. также

Литература

Примечания

  1. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые_встречи_с_геометрией_1978. — Москва «Наука», 1978. — P. 225. (стр. 186)

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Стереографическая проекция" в других словарях:

  • СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — изображение предмета в двух видах, соответствующих тому, каким кажется предмет для каждого из наших глаз в отдельности; при таком способе изображения два полученных вида при наложении оптическим путем друг на друга показывают предмет таким, каким …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Стереографическая проекция —         (a. stereographic projection; н. stereographische Projektion; ф. projection stereographique; и. proyeccion estereografica) равноугольная (конформная) картографич. проекция. При C. п. соответствие между точками сферы и плоскости… …   Геологическая энциклопедия

  • СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — центральная проекция точек сферы с центром в точке C сферы на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы OC и не проходящую через C …   Большой Энциклопедический словарь

  • стереографическая проекция — Азимутальная перспективаная картографическая проекция, получаемая проектированием из точки, расположенной на поверхности шара …   Словарь по географии

  • Стереографическая проекция —         соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом: из некоторой точки С на сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы ОС и не проходящую через С (см.… …   Большая советская энциклопедия

  • стереографическая проекция — центральная проекция точек сферы с центром в точке С сферы на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы ОС и не проходящую через С. * * * СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ, центральная проекция точек сферы с центром в точке C… …   Энциклопедический словарь

  • стереографическая проекция — stereografinė projekcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. stereographic projection; stereographical projection vok. stereographische Projektion, f rus. стереографическая проекция, f pranc. projection stéréographique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом; из нек рой точки Sна сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы S0 (на рис. эта плоскость экваториальная,… …   Математическая энциклопедия

  • СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — центр проекция точек сферы с центром в точке С сферы на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы ОС и не проходящую через С …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — (СТЕРЕОГРАММА) – проекция сферы на плоскость, используется для наглядного представления результатов палеомагнитных измерений, их анализа, графической обработки …   Палеомагнитология, петромагнитология и геология. Словарь-справочник.


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»