Циссоида Диоклеса

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA = 2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны, синим и красным цветами.

Рис. 1

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^2=\frac{x^3}{2a-x}.\qquad\qquad(1)$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\rho=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}.$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\rho=\frac{2a\left(1-\cos^2\varphi\right)}{\cos\varphi}=$

$=2a\left(\frac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi\right)=$

$=2a\left(\sec\varphi-\cos\varphi\right).$

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x=\frac{2a}{1+u^2},$

$y=\frac{2a}{u(1+u^2)},$

где

$u=\mathrm{tg}\,\varphi$.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом, Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — греч. χισσος («киссос»), от этого и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде, циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик де Слюз (англ.).

Особенности кривой

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках B и D, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту UV, уравнение которой: x = 2a, где a — радиус вспомогательной окружности.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды KOL и асимптотой UV S₁. Уравнение верхней ветви OL:

$y=\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}.\qquad\qquad(2)$

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до 2a:

$\frac{1}{2}S_1=\int\limits_0^{2a}\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}\,dx.\qquad\qquad(3)$

Подстановка:

$u^2=2a-x,\qquad x=2a-u^2,\qquad dx=-2u\,du.$

Пределы интегрирования:

$x=0\Rightarrow u=\sqrt{2a},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.$

Интеграл (3) преобразуется к виду:

$\frac{1}{2}S_1=-2\int\limits_\sqrt{2a}^0\sqrt{(2a-u^2)^3}\,du=$

$=\left.-2\left(\frac{u}{8}(10a-2u^2)\sqrt{2a-u^2}+\frac{3a^2}{2}\arcsin\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)\right|^0_\sqrt{2a}=\frac{3\pi a^2}{2}.$

Итак:

$\frac{1}{2}S_1=\frac{3\pi a^2}{2}.$

Площадь S₁ равна:

S₁ = 3πa².

Объём тела вращения

Объём (V₁) тела, образованного при вращении ветви OL вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_1=\pi\int\limits_0^{2a}\frac{x^3}{2a-x}\,dx=$

$=\pi\int\limits_0^{2a}\left(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x}\right)\,dx=$

$=\left.-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln(2a-x))\right|^{2a}_0.$

Если $x\to 2a$, то $\ln(2a-x)\to-\infty$, то есть $V_1\to\infty$.