Целостное кольцо

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0≠1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0≠1 исключает из рассмотрения тривиальное кольцо {0}.

Эквивалентное определение: область целостности — это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел $\mathbb Z$.
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо $\mathbb{Z}[x]$ многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо $\mathbb{R}[x,y]$ многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.
• Множество действительных чисел вида $a+b\sqrt{2}$ есть подкольцо поля $\mathbb{R}$, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a + bi, где a и b целые (множество Гауссовых целых).
• Пусть U — связное открытое подмножество комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Тогда кольцо H(U) всех голоморфных функций $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если K — коммутативное кольцо, а I — идеал в K, то факторкольцо K / I целостное тогда и только тогда, когда I — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b — элементы целостного кольца K. Говорят, что «a делит b» или «a — делитель b» (и пишут $a\mid b$), если и только если существует элемент $x\in K$ такой, что ax = b.

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c, то a делит c. Если a делит b и c, то a делит также их сумму b + c и разность b - c.

Для кольца K с единицей элементы $a\in K$, которые делят 1, называются единицами или делителями единицы. Они и только они, обратимы в K. Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b * e, где e — обратимый элемент.

Ненулевой элемент q, не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым, если из того, что $p\mid ab$, следует $p\mid a$ или $p\mid b$. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце $\mathbb{Z}$, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
• Если A ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.
• Если A ― коммутативное кольцо с единицей и I ― некоторый идеал в A, то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост.
• Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7