Копула

Копула (лат. Copula) — это многомерная функция распределения, определённая на $n$-мерном единичном кубе $[0,\;1]^n$, такая что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале $[0,\;1]$.

Теорема Склара заключается в следующем. Для произвольной двумерной функции распределения $H(x,\;y)$ с одномерными маргинальными функциями распределения $F(x)=H(x,\;\infty)$ и $G(y)=H(\infty,\;y)$ существует копула, такая что

$H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),$

где мы отождествляем распределение $C$ с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

$C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,$

$C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.$

Границы Фреше для копулы

Минимальная копула — это нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

$M(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).$

Максимальная копула — это верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

$W(x,\;y)=\min(x,\;y).$

Архимедовы копулы

Одна частная простая форма копулы:

$H(x,\;y)=\Psi^{-1}(\Psi(F(x))+\Psi(G(y))),$

где $\psi$ называется функция-генератор. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведенным ниже свойствам служит основой для правильной копулы:

$\Psi(1)=0;\quad\lim_{x\to 0}\Psi(x)=\infty;\quad\Psi'(x)<0;\quad\Psi''(x)>0.$

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

$\Psi(x)=-\ln(x);\quad H(x,\;y)=xy.$

Копула Клейтона (Clayton):

$\Psi(x)=x^\theta-1;\quad\theta\leqslant 0;\quad H(x,\;y)=(F(x)^\theta+G(y)^\theta-1)^{1/\theta}.$

Для $\theta=0$ в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространен для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копула

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить "эмпирическую копулу" путем такой свертки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

$C_n\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) = \frac{1}{n} \cdot$ Число пар $(x,y)$ таких что $x \leq x_{(i)} \text{ и } y \leq y_{(j)} \, , 1 \leq i \leq n , 1 \leq j \leq n$

где x_(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Применения

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования en:collateralized debt obligations (CDOs). ^[1]

Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

Недавно, копулы были успешно использованы для формирования базы данных для анализа надежности автострадных мостов и для разнообразных моделирований со многими переменными в гражданском, механическом и шельфо-добывающем машиностроении.^{[источник не указан 917 дней]}

Примечания

1. ↑ Meneguzzo, David (2003), "«Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps»", Journal of Futures Markets Т. 24 (1): 37–70, DOI 10.1002/fut.10110 

Литература

• Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription)
• Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1—25.
• Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
• Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
• Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Примеры копул
• Границы Фреше
• Графики некоторых копул

См. также

• Независимость (теория вероятностей)