- Хи-квадрат распределение
-
Распределение хи-квадрат Плотность вероятности
k - число степеней свободыФункция распределения
k - число степеней свободыПараметры число степеней свободы Носитель Плотность вероятности Функция распределения Математическое ожидание Медиана примерно Мода если Дисперсия Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Информационная энтропия Производящая функция моментов , если Характеристическая функция
Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы — это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.Содержание
Определение
Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина
имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, обозначаемое .
Замечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения:
- .
Следовательно, плотность распределения хи-квадрат имеет вид
- ,
а его функция распределения
- ,
где и обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.
Свойства распределения хи-квадрат
- Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если независимы, и , а , то
- .
- Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то
- ,
- .
- В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно
- по распределению при .
Связь с другими распределениями
- Если независимые нормальные случайные величины, то есть: , то случайная величина
имеет распределение хи-квадрат.
- Если , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:
- .
- Если и , то случайная величина
имеет распределение Фишера со степенями свободы .
Процентили
Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное править
Wikimedia Foundation. 2010.