Функция (математ.)

Запрос «Отображение» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.

В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

Определения

• Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
• Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:

$\forall x\forall y\forall z((x,y)\in f\and(x,z)\in f\to y=z).$

• Функция называется инъективной, если $\forall x\forall z(f(x)=f(z)\to x=z)$

Обозначения

• $F=(f,\;X,\;Y)$, $F\colon X\to Y$ или $X\stackrel{F}{\longrightarrow}Y$ для отображения F множества X в множество Y;
  • Множество X называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(F), или $\mathrm{dom}\,F$.).
  • Множество Y называется о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(F), или $\mathrm{cod}\,F$).
• $(x,y)\in f$, y = F(x) или $F\colon x\mapsto y$ или $x\stackrel{F}{\longmapsto} y$. Используется также обратная польская запись: y = xF, а иногда y = x^F.
  • Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы y — значениями функции.

Связанные определения

• Пусть дано отображение $F\colon X\to Y$, и $M\subset X$. Тогда суже́нием функции F на M называется функция $F\big|_M\colon M\to Y$, определяемая равенством

  $F\big|_M(x)=F(x),\;\forall x\in M$.

  Это определение подчёркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

• F является продолжением функции $F\big|_M$ на множество $X\supset M$. Можно рассматривать продолжения, обладающие различными свойствами, например аналитическое продолжение.

• Пусть $M\subset X$. Тогда о́бразом множества M называется подмножество множества Y, определяемое равенством

  $F(M)=\{F(x)\mid x\in M\}$.

Множество F(X) называется образом отображения F и обозначается $\mathrm{Im}\,F$.

• Пусть задано отображение $F\colon X\to Y$, $x\in X,\;y\in Y$ и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент $x\in X$ должен иметь ровно один образ, но элемент $y\in Y$ может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
  • Например, пусть дана функция $F\colon\R\to\R$, где F(x) = x². Тогда

    y = − 1 не имеет прообразов;

    y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;

    y = 1 имеет два прообраза: x₁ = 1 и x₂ = − 1.

• Пусть задано отображение $F\colon X\to Y$, и $y\in Y$. Тогда множество $\{x\in X\mid F(x)=y\}\subset X$ называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F ^{- 1}(y).
  • Например, пусть $F\colon\R\to\R$, и F(x) = sinx. Тогда

    $F^{-1}(1)=\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi k\mid k\in\Z\right\}$.

• Пусть $N\subset Y$. Тогда проо́бразом множества N называется подмножество множества X, определяемое равенством

  $F^{-1}(N)=\{x\in X\mid F(x)\in N \}$.

  • Например, пусть $F\colon\R\to\R$, и F(x) = cosx. Тогда

    $F\left(\left[0,\;\frac{\pi}{2}\right]\right)=[0,\;1]$,

    $F^{-1}([0,\;1])=\bigcup\limits_{n\in\Z}\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$.

Свойства

Свойства прообразов и образов

• $F^{-1}(A\cup B)=F^{-1}(A)\cup F^{-1}(B),\;\forall A,\;B\subset Y$;
• $F^{-1}(A\cap B)=F^{-1}(A)\cap F^{-1}(B),\;\forall A,\;B\subset Y$;
• $F(A\cup B)= F(A)\cup F(B),\;\forall A,\;B\subset X$;
• $F(A\cap B)\subset F(A)\cap F(B),\;\forall A,\;B\subset X$. Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Классы функций

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как $\R$ или $\C$, то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, $\R^n$ или $\C^n$, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Вариации и обобщения

• многозначная функция

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества $X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n$ и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей $f=\left\{(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n,\;y)\right\}$ называется функцией n аргументов тогда и только тогда, когда для любых $(x'_1,\;x'_2,\;\ldots,\;x'_n,\;y')\in f$ и $(x''_1,\;x''_2,\;\ldots,\;x''_n,\;y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x_{n}' \neq x_{n}'',\forall x\in [1,\;n]\cap\Z$.^[1]

Примечания

1. ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — том 1. — М.: Высшая школа, 1981. — с. 8.

См. также

• Композиция функций
• График функции
• Сюръективность
• Инъективность
• Биективность
• Функция с множеством значений {0, 1}
• Функциональное уравнение

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.