Функциональный анализ (математ.)

Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Например — пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как «оператор» и «функционал».

История

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах.

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики, как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Ключевые результаты

• Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
• Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
• Теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору. Как её следствие — теорема о замкнутом графике.
• Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.

Направление исследований

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

• Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
• Геометрия Банаховых пространств.
• Некоммутативная геометрия. Разработанная Алэном Конном (Alain Connes), частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
• Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолкованное более обще, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.

Литература

• Функциональный анализ. (Серия. Справочная математическая библиотека) Под общей редакцией С.Г. Крейна, М.: Наука, 1972. 544 с.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-ое изд. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Л. В. Канторович, Г.П. Акилов, Функциональный анализ
• Л. А. Люстерник, В. И. Соболев Элементы функционального анализа 2-ое изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
• У. Рудин, Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
• С. Банах, Теория линейных операций
• М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
• Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.
• К. Иосида, Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.

Разделы математики

Теория множеств | Арифметика | Геометрия | Математический анализ | Дифференциальные уравнения | Алгебра | Теория чисел | Дискретная математика | Комплексный анализ | Функциональный анализ | Дифференциальные геометрия и топология | Топология | Математическая логика | Теория категорий | Линейная алгебра | Теория вероятностей | Математическая статистика