Функциональное уравнение

В математике функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

• Функциональному уравнению

$f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)$

где $\Gamma(z)$ — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.

• Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

$f(x)={f(x+1) \over x}\,\!$

$f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,$       (формула дополнения Эйлера)

• Функциональное уравнение

$f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)\,\!$

где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad − bc = 1, то есть $\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1$, определяет f как модулярную форму порядка k.

• Различные примеры, не обязательно связанные со «знаменитыми» функциями:

$f(x + y) = f(x)f(y)$ — удовлетворяют все показательные функции,

$f(xy) = f(x) + f(y)$ — удовлетворяют все логарифмические функции,

$f(x + y) = f(x) + f(y)$ — уравнение Коши,

$f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]$ — квадратичное уравнение или закон параллелограмма, удовлетворяет $f(x)=kx^2$,

$f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции, и его версия

$f(x+y)f(x-y)=f(x)^2$ — уравнение Лобачевского, решение — $f(x)=ac^x$,

$f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) f(y)]$ — уравнение Даламбера,

$f(h(x)) = f(x) + 1$ — уравнение Абеля  (англ.),

$f(h(x)) = cf(x)$ — уравнение Шрёдера  (англ.), решением является функция Кёнигса, связанная с функцией $\textstyle h(x)$.

• Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение. Говоря формально, оно содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Пример реккурентного соотношения:

$a(n) = 3a(n-1) + 4a(n-2)\,\!$

• Коммутативный и ассоциативный законы функциональных уравнений. Когда ассоциативный закон выражается в виде его знакомой формы, что позволяет некоторым символом между двумя переменными представляет собой бинарную операцию^{[стиль!]}:

$(a*b)*c = a*(b*c).\,$

Но если мы напишем $f(a, b)$ вместо $a * b,$ то ассоциативный закон будет выглядеть как то, что обычно называют функциональным уравнением:

$f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c)).\,\!$

Решение функциональных уравнений

Решение функциональных уравнений может быть очень трудным, но существуют некоторые общие методы их решения.

Обсуждение инволюции функции полезно. Например, рассмотрим функцию

$f(x) = \frac{1}{x}$.

Затем рассмотрим

$f(f(x)) = x\,$,

если мы продолжим схему мы в конце получим x при четном количестве композиций и f(x) при нечетном. Эта же идея распространяется на многие другие функции, например,

$f(x) = \frac{1}{1-x} + 1 , f(x) = 1-x$ и многие другие.

Пример 1

Решить $f^2(x+y) = f^2(x) + f^2(y)\,$ для всех $x,y \in \mathbb{R},$ где f принимает вещественные значения.

Положим $x=y=0$: $f^2(0)=f^2(0)+f^2(0)$. Тогда $f^2(0)=0$ и $f(0)=0$.

Теперь, положим $y=-x$:

$f^2(x-x)=f^2(x)+f^2(-x)\,$

$f^2(0)=f^2(x)+f^2(-x)\,$

$0=f^2(x)+f^2(-x)\,$

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит $f^2(x)=0$ для всех x и $f(x)\equiv0$ является единственным решением этого уравнения.

См. также

• Functional equation (L-function)

Примечания

Литература

• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. Functional equations in a single variable. Polska Akademia Nauk. Monografie matematyczne, t. 46. Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1968.
• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Kuczma M. (with B. Choczewski and R. Ger). Iterative functional equations. Cambridge — New-York — Port Chester — Melburn — Sydney: Cambridge Univ. Press, 1990.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.

Для улучшения этой статьи желательно?: Перевести текст с иностранного языка на русский.