Формула Стокса-Эйнштейна

В физике (главным образом в молекулярно кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна-Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и температурой (макро параметры). Оно было независимо открыто Альбертом Эйнштейном в 1905 году и Марианом Смолуховским (1906) в ходе работ по изучению броуновского движения:

$D = {\mu_p \, k_B T}$

где $D\,$ — коэффициент диффузии, $\mu_p\,$ — подвижность частиц, $k_B\,$ — постоянная Больцмана, а $T\,$ — абсолютная температура.

Величина подвижности $\mu_p\,$ определяется из соотношения

$\mu_p=V / F \,$

где $V\,$ — стационарная скорость перемещения частицы в вязкой среде под действием силы $F\,$.

Это уравнение является частным следствием флуктуационно-диссипационной теоремы.

Формула Стокса-Эйнштейна

Величина подвижности не всегда легко определяется, поэтому если предположить, что числа Рейнольдса малы, то для силы сопротивления, испытываемой макроскопическим шариком (частицей), можно использовать формулу Стокса

$F = 6 \pi \, \eta \, r V$

где $\eta\,$ — вязкость жидкости, $r\,$ — радиус частицы. Таким образом, получается выражение:

$D=\frac{k_B T}{6\pi\,\eta\,r}$

называемое соотношением (формулой) Стокса-Эйнштейна. Следует заметить, что использование макроскопического приближения для описания молекулярных характеристик движения дает лишь оценочные результаты. В практических приложениях иногда используют коэффициент 4 вместо 6. Часто также предполагают, что характерная для микроскопических движений вязкость ниже, чем вязкость, измеренная в макроскопических экспериментах. Тем не менее формула Стокса-Эйнштейна дает верные по порядку величины оценки коэффициента диффузии. Для величины коэффициента вращательной диффузии выражение выглядит следующим образом:

$D_{rot}=\frac{k_B T}{8\pi\,\eta\,r^3}$

См. также

• Уравнение Ланжевена