Аддитивные сет-функции и меры

Сет-функция — действительная числовая функция $f\mbox{: } 2^\Omega \rightarrow \ \mathbb{R}$ , определенная на $2^\Omega\$ — множестве всех подмножеств некоторого произвольного конечного множества $\Omega\$ измеримого пространства $(\Omega, \mathcal{F})$ и принимающая свои значения на числовой оси $\mathbb{R}$.

Аддитивная сет-функция — сет-функция, для которой выполняется равенство:

$f(x \cup y) + f(x \cap y)=f(x)+f(y)$

для любых подмножеств $x \subseteq \Omega$ и $y \subseteq \Omega$.

Мера — аддитивная сет-функция, для которой верно: $f(\emptyset)=0$.

Значение любой меры $f\$ на произвольном подмножестве $x \subseteq \Omega$ можно представить в виде суммы ее значений на моноплетах $\{\omega\}: \omega \in x$:

$f(x) = \sum_{\omega \in x} f(\{\omega\}) \mbox{, } x \subseteq \Omega$.

Считается, что $\sum_{\omega \in \emptyset} f(\{\omega\})=0, \prod_{\omega \in \emptyset}f(\{\omega\})=1$.

Библиография

• Lovasz L. (1983) Submodular functions and convexity. In: A. Bachem, M. Grotschel, and B.Korte, editors, Mathematical Programming — The State of the Art}, Springer-Veriag, 235—257.

• Fujishige S. (1984) Theory of submodular programs, A Fenchel-type min-max theorem and subgradients of submodular functions, Mathematical Programming, 29, 142—155.

• Foldes Stephan, Hammer Peter L. (2002) Submodularity, Supermodularity, Higher Order Monotonicities. Rutcor Research

Report, 10-2002, March, 2002.

• Hammer, P.L., and S.Rudeanu} (1968) Boolean Methods in Operation Research and Relared Areas, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проверить достоверность указанной в статье информации. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.