Уравнения Гинзбурга-Ландау

Теория Гинзбурга — Ландау — созданная в начале 1950-х годов В. Л. Гинзбургом и Л. Д. Ландау феноменологическая теория сверхпроводимости.

Теория построена исходя из следующего вида лагранжиана:

$\mathcal{L}= \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi\nabla\psi^\star+ \alpha|\psi|^2 + \beta|\psi|^4$,

где ψ — комплексное поле пар Купера, $\nabla$ — оператор ковариантного дифференцирования относительно электромагнитного потенциала $\mathbf{A}$, а α и β — эмпирические постоянные.

Функционал свободной энергии имеет вид:

$F=F_n+\alpha|\psi|^2+\frac{\beta}{2}|\psi|^4+\frac{1}{2m}\left|\left(-i\hbar\nabla-2e\mathbf{A}\right)\psi\right|^2+\frac{|\mathbf{H}|^2}{2\mu_0},$

где F_n — свободная энергия в нормальной фазе, а $\mathbf{H}$ — магнитное поле.

Варьируя этот функционал по ψ и $\mathbf{A}$, мы приходим к уравнениям Гинзбурга — Ландау:

$\alpha\psi+\beta|\psi|^2\psi+\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\nabla-2e\mathbf{A}\right)^2\psi=0,$

$\mathbf{J}=\frac{2e}{m}\left(\psi^*\left(-i\hbar\nabla-2e\mathbf{A}\right)\psi\right),$

где $\mathbf{J}$ — электрический ток.

Уравнения Гинзбурга — Ландау вёдут ко многим интересным выводам. Одним из них является существование двух характерных длин в сверхпроводниках. Первая — это длина когеренции ξ:

$\xi=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m|\alpha|}},$

которая описывает термодинамические флуктуации в сверхпроводящей фазе.

И вторая — глубина проникновения магнитного поля λ:

$\lambda=\sqrt{\frac{m}{4\mu_0 e^2\psi_0^2}},$

где ψ₀ — это равновесное значение функции состояния в отсутствие электромагнитного поля.

Отношение $\varkappa=\lambda/\xi$ называют параметром Гинзбурга — Ландау. Известно, что у сверхпроводников I типа $\varkappa<1/\sqrt{2}$, а у сверхпроводников II типа $\varkappa>1/\sqrt{2}$. Также известно, что сверхпроводники II типа имеют фазовый переход второго рода, а сверхпроводники II типа — первого. Это было подтверждено теорией Гинзбурга — Ландау.

Одним из самых важных следствий теории Гинзбурга — Ландау являлось нахождение вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II типа, находящихся в сильном магнитном поле.

Ссылки

• В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 20, 1064 (1950)
• В. Л. Гинзбург, ЖЭТФ 32, 1442 (1957)
• Л. П. Горьков, ЖЭТФ 36, 1364 (1959)