Уравнение Саха-Ленгмюра

Ионизационное уравнение Саха или просто уравнение Саха, известное также как уравнение Саха — Ленгмюра, было выведено индийским астрофизиком Магнадом Саха в 1920 году, и независимо Ирвингом Ленгмюром в 1923 году. Важнейшее применение это уравнение получило в теории звездных атмосфер и разработке спектральной классификации звёзд. В этом уравнении объединены идеи квантовой и статистической механики.

При повышении температуры газа кинетическая энергия составляющих его атомов становится столь высокой, что при столкновении друг с другом атомы начинают терять электроны, то есть начинается процесс ионизации. Такое состояние вещества в физике называется плазмой. Если газ полностью ионизован, то говорят о полностью ионизованной плазме, если же одни атомы ионизованы, а другие остались нейтральными, то говорят о частично ионизованной плазме. Уравнение Саха описывает степень ионизации такой плазмы как функции температуры, давления и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха применимо для равновесной плазмы. Для газа, состоящего из атомов одного сорта уравнение Саха можно записать в виде:

$\frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{u_{i+1}}{u_i}\exp\left[-\frac{(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)}{k_BT}\right],$

где

• $n_i\,$ — концентрация атомов в i-й степени ионизации; i — число недостающих электронов.
• $n_e\,$ — концентрация электронов
• $\varepsilon_i\,$ — энергия, необходимая для удаления i электронов из нейтрального атома, то есть для создания атома i-й степени ионизации.
• $u_i\,$ — статистическая сумма:

$u_i = \sum_n^z g_n(i)e^{\frac{E_n}{k_BT}}$

• • $g_n(i)\,$ — статистический вес уровня n i-кратного иона.
  • $T\,$ — температура газа
  • $k_B\,$ — постоянная Больцмана
• $\Lambda \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m_ek_BT}}$
  • $m_e\,$ — масса электрона
  • $h\,$ — постоянная Планка

В случае, когда существуют только однократно ионизованные атомы уравнение упрощается: n₁ = n_e, тогда полная плотность n можно ввести как n = n₀ + n₁. Уравнение Саха можно представить в виде:

$\frac{n_e^2}{n-n_e} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right]$,

где $\varepsilon$ — энергия ионизации.

В астрофизике используется следующая форма для уравнения Саха:

$\frac{n^+}{n}P_e = \frac{2u_1}{u_0}\frac{\left(2 \pi m_e\right)^{3/2}}{h^3}\left(k_BT\right)^{5/2}e^{-\frac{\varepsilon}{k_BT}},$

где $P_e\,$ — давление электронов.