- Унипотент
-
Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент a кольца, удовлетворяющий равенству an = 0 для некоторого натурального n. Минимальное значение n, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента a.
Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).
Примеры
- В кольце вычетов по модулю pn, где p ― некоторое простое число, класс вычетов числа p ― нильпотент индекса n,
- Матрица
-
- является нильпотентом индекса 2 в кольце
-матриц
Связанные определения
- элемент кольца u называется унипотентным (или унипотентом) если u − 1 является нильпотентным,
- Например, унипотентной является матрица
- Например, унипотентной является матрица
Свойства
- Если a ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
-
,
- т. е. элемент (1 − a) обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от a.
- В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
- Все нильпотентные элементы образуют идеал J, называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо A / J уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
- При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.
Wikimedia Foundation. 2010.