- Распределение хи-квадрат
-
Распределение . Распределение Пирсона Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение или Параметры — число степеней свободы Носитель Плотность вероятности Функция распределения Математическое ожидание Медиана примерно Мода если Дисперсия Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Информационная энтропия Производящая функция моментов , если Характеристическая функция
Распределение (хи-квадрат) с степенями свободы — это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.Содержание
Определение
Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина
имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то есть .
Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и имеет вид:
- ,
где означает Гамма-распределение, а — Гамма-функцию.
Функция распределения имеет следующий вид:
- ,
где и обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.
Свойства распределения хи-квадрат
- Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если независимы, и , а , то
- .
- Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то
- ,
- .
- В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно
- по распределению при .
Связь с другими распределениями
- Если независимые нормальные случайные величины, то есть: известно, то случайная величина
имеет распределение .
- Если , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:
- .
- Если и , то случайная величина
имеет распределение Фишера со степенями свободы .
Процентили
История
Критерий χ² был предложен Карлом Пирсоном (Pearson) в 1900 году.[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 1029!
Общее обсуждение критерия χ² и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.[2]
См. также
Примечания
- ↑ Karl Pearson. «On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling». Philosophical Magazine, Series 5 50 (302): 157-175. DOI:10.1080/14786440009463897.
- ↑ William G. Cochran (1952). «The χ2 Test of Goodness of Fit». Annals Math. Stat. 23 (3): 315-345.
Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула Категория:- Непрерывные распределения
Wikimedia Foundation. 2010.