Напряжённость электрического поля

Напряжённость электрического поля
$\vec E$
Размерность	LMT−3I−1
Единицы измерения
СИ	В/м
Примечания
векторная величина

Напряжённость электри́ческого по́ля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы $\vec F,$ действующей на неподвижный^[1] пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда $q$:

$\vec E= \frac{\vec F}{q}$.

Из этого определения видно, почему напряженность электрического поля иногда называется силовой характеристикой электрического поля (действительно, всё отличие от вектора силы, действующей на заряженную частицу, только в постоянном^[2] множителе).

В каждой точке пространства в данный момент времени существует свое значение вектора $\vec E$ (вообще говоря - разное^[3] в разных точках пространства), таким образом, $\vec E$ - это векторное поле. Формально это выражается в записи

$\vec E = \vec E(x,y,z,t),$

представляющей напряженность электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, т.к. $\vec E$ может меняться со временем). Это поле вместе с полем вектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле^[4], и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики.

Напряжённость электрического поля в СИ измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон.

Напряжённость электрического поля в классической электродинамике

Из сказанного выше ясно, что напряженность электрического поля - одна из основных фундаментальных величин классической электродинамики. В этой области физики можно назвать сопоставимыми с ней по значению только вектор магнитной индукции (вместе с вектором напряженности электрического поля образующий тензор электромагнитного поля) и электрический заряд. С некоторой точки зрения столь же важными представляются потенциалы электромагнитного поля (образующие вместе единый электромагнитный потенциал).

• Остальные понятия и величины классической электродинамики, такие как электрический ток, плотность тока, плотность заряда, вектор поляризации, а также вспомогательные поле электрической индукции и напряженность магнитного поля - хотя достаточно важны и значимы, но их значение гораздо меньше, и по сути могут считаться полезными и содержательными, но вспомогательными величинами.

Приведем краткий обзор основных контекстов классической электродинамики в отношении напряженности электрического поля.

Сила, с которой действует электромагнитное поле на заряженные частицы

Полная сила, с которой электромагнитное поле (включающее вообще говоря электрическую и магнитную составляющие) действует на заряженную частицу, выражается формулой силы Лоренца:

$\vec F = q \vec E + q \vec v \times \vec B,$

где q - электрический заряд частицы, $\vec v$ - ее скорость, $\vec B$ - вектор магнитной индукции (основная характеристика магнитного поля), косым крестом $\times$ обозначено векторное произведение. Формула приведена в единицах СИ.

Как видим, эта формула полностью согласуется с определением напряженности электрического поля, данном в начале статьи, но является более общей, т.к. включает в себя также действие на заряженную частицу (если та движется) со стороны магнитного поля.

В этой формуле частица предполагается точечной. Однако эта формула позволяет рассчитать и силы, действующие со стороны электромагнитного поля на тела любой формы с любым распределением зарядов и токов - надо только воспользоваться обычным для физики приемом разбиения сложного тела на маленькие (математически - бесконечно маленькие) части, каждая из которых может считаться точечной и таким образом входящей в область применимости формулы.

Остальные формулы, применяемые для расчета электромагнитных сил (такие, как, например, формула силы Ампера) можно считать следствиями^[5] фундаментальной формулы силы Лоренца, частными случаями ее применения итп.

Однако для того, чтобы эта формула была применена (даже в самых простых случаях, таких, как расчет силы взаимодействия двух точечных зарядов), необходимо знать (уметь рассчитывать) $\vec E$ и $\vec B,$ чему посвящены следующие параграфы.

Уравнения Максвелла

Достаточным вместе с формулой силы Лоренца теоретическим фундаментом классической электродинамики являются уравнения электромагнитного поля, называемые уравнениями Максвелла. Их стандартная традиционная форма представляет собой четыре уравнения, в три из которых входит вектор напряженности электрического поля:

$\mathrm{div} \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{rot}\, \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$

$\mathrm{div} \vec B = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{rot}\, \vec B = \mu_0 \vec j + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec E}{\partial t}$

Здесь $\rho$ - плотность заряда, $\vec j$ - плотность тока, $\varepsilon_0, \mu_0, c$ - универсальные константы (уравнения здесь записаны в единицах СИ).

Здесь приведена наиболее фундаментальная и простая форма уравнений Максвелла - так называемые "уравнения для вакуума" (хотя, вопреки названию, они вполне применимы и для описания поведения электромагнитного поля в среде). Подробно о других формах записи уравнений Максвелла - см. основную статью.

Этих четырех уравнений вместе с пятым - уравнением силы Лоренца - в принципе достаточно, чтобы полностью описать классическую (то есть не квантовую) электродинамику, то есть они представляют ее полные законы. Для решения конкретных реальных задач с их помощью необходимы еще уравнения движения "материальных частиц" (в классической механике это законы Ньютона), а также зачастую дополнительная информация о конкретных свойствах физических тел и сред, участвующих в рассмотрении (их упругости, электропроводности, поляризуемости итд итп), а также о других силах, участвующих в задаче (например, о гравитации), однако вся эта информация уже не входит в рамки электродинамики как таковой, хотя и оказывается зачастую необходимой для построения замкнутой системы уравнений, позволяющих решить ту или иную конкретную задачу в целом.

«Материальные уравнения»

Такими дополнительными формулами или уравнениями (обычно не точными, а приближенными, зачастую всего лишь эмпирическими), которые не входят непосредственно в область электродинамики, но поневоле используются в ней ради решения конкретных практических задач, называемыми «материальными уравнениями», являются, в частности:

• Закон Ома,
• Закон поляризации
• в разных случаях многие другие формулы и соотношения.

Связь с потенциалами

Связь напряженности электрического поля с потенциалами в общем случае такова:

$\vec E = - \nabla\varphi - \frac{\partial \vec A}{\partial t},$

где $\varphi, \vec A$ - скалярный и векторный потенциалы. Приведем здесь для полноты картины и соответствующее выражение для вектора магнитной индукции:

$\vec B = \mathrm{rot} \vec A.$

В частном случае стационарных (не меняющихся со временем) полей, первое уравнение упрощается до:

$\vec E = - \nabla\varphi.$

Это выражение для связи электростатического поля с электростатическим потенциалом.

Электростатика

Важным с практической и с теоретической точек зрения частным случаем в электродинамике является тот случай, когда заряженные тела неподвижны (например, если исследуется состояние равновесия) или скорость их движения достаточно мала чтобы можно было приближенно воспользоваться теми способами расчета, которые справедливы для неподвижных тел. Этим частным случаем занимается раздел электродинамики, называемый электростатикой.

Как мы уже заметили выше, напряженность электрического поля в этом случае выражается через скалярный потенциал как

$\vec E = -\nabla \varphi$

или

$E_x = -\frac{\partial\varphi}{\partial x}$

$E_y = -\frac{\partial\varphi}{\partial y}$

$E_z = -\frac{\partial\varphi}{\partial z}$

то есть электростатическое поле оказывается потенциальным полем. ($\varphi$ в этом случае - случае электростатики - принято называть электростатическим потенциалом).

• Также и обратно $\varphi = \int \vec E\cdot \vec{dl}.$

Уравнения поля (уравнения Максвелла) при этом также сильно упрощаются (уравнения с магнитным полем можно исключить, а в уравнение с дивергенцией можно подставить $-\nabla \phi$) и сводятся к уравнению Пуассона:

$\nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0},$

а в областях, свободных от заряженных частиц - к уравнению Лапласа:

$\nabla^2\varphi = 0.$

Учитывая линейность этих уравнений, а следовательно применимость к ним принципа суперпозиции, достаточно найти поле одного точечного единичного заряда, чтобы потом найти потенциал или напряженность поля, создаваемого любым распределением зарядов (суммируя решения для точечного заряда).

Теорема Гаусса

Очень полезной в электростатике оказывается теорема Гаусса, содержание которой сводится к интегральной форме единственного нетривиального для электростатики уравнения Максвелла:

$\oint\limits_S \vec E \cdot \vec{dS} = \frac{Q}{\varepsilon_0},$

где интегрирование производится по любой замкнутой поверхности S (вычисляя поток $\vec E$ через эту поверхность), Q - полный (суммарный) заряд внутри этой поверхности.

Эта теорема дает крайне простой и удобный способ расчета напряженности электрического поля в случае, когда источники имеют достаточно высокую симметрию, а именно сферическую, цилиндрическую или зеркальную+трансляционную. В частности, таким способом легко находится поле точечного заряда, сферы, цилиндра, плоскости.

Напряжённость электрического поля точечного заряда

В единицах СИ

Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона

$\varphi = \frac{1}{4 \pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r},$

или

$\vec E = \frac{1}{4 \pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}\cdot\frac{\vec r}{r},$.

$E \equiv |\vec E| = \frac{1}{4 \pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}.$.

Исторически закон Кулона был открыт первым, хотя с теоретической точки зрения уравнения Максвелла более фундаментальны. С этой точки зрения он является их следствием. Получить этот результат проще всего исходя из теоремы Гаусса, учитывая сферическую симметрию задачи: выбрать поверхность S в виде сферы с центром в точечном заряде, учесть, что направление $\vec E$ будет очевидно радиальным, а модуль этого вектора одинаков везде на выбранной сфере (так что E можно вынести за знак интеграла), и тогда, учитывая формулу для площади сферы радиуса r: $4\pi r^2$, имеем:

$4\pi r^2 E = q/\varepsilon_0,$

откуда сразу получаем ответ для E.

Ответ для $\varphi$ получается тогда интегрированием E:

$\varphi = \int \vec E\cdot \vec{dl} = \int E dr.$

Для системы СГС

Формулы и их вывод аналогичны, отличие от СИ лишь в константах.

$\varphi = \frac{q}{r},$

$\vec E = \frac{q}{r^2}\frac{\vec r}{r},$

$E = |\vec E| = \frac{q}{r^2}.$

Напряженность электрического поля произвольного распределения зарядов

По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:

$\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + \dots$

где каждое

$\vec E_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{(\Delta \vec r_i)^2}\frac{\Delta \vec r_i}{|\Delta \vec r_i|},$

$\Delta \vec r_i = \vec r - \vec r_i.$

Подставив, получаем:

$\vec E (\vec r) = \sum\limits_i \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{(\Delta \vec r_i)^2}\frac{\Delta \vec r_i}{|\Delta \vec r_i|},$

$\Delta \vec r_i = \vec r - \vec r_i.$

Для непрерывного распределения аналогично:

$\vec E (\vec r) = \int\limits_V \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho(\vec \hat r) dV}{(\vec r - \vec \hat r)^2}\frac{\vec r - \vec \hat r}{|\vec r - \vec \hat r|},$

где V - область пространства, где расположены заряды (ненулевая плотность заряда), или всё пространство, $\vec r$ - радиус-вектор точки, для которой считаем $\vec E$, $\vec \hat r$ - радиус-вектор источника, пробегающий все точки области V при интегрировании, dV - элемент объема. Можно подставить x,y,z вместо $\vec r$, $\hat x, \hat y, \hat z$ вместо $\vec \hat r$, $d\hat x d\hat y d\hat z$ вместо dV.

Системы единиц

В системе СГС напряжённость электрического поля измеряется в СГСЭ единицах, в системе СИ — в ньютонах на кулон или в вольтах на метр (русское В/м, международное V/m).

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5.

Примечания

1. ↑ На движущийся заряд действует также магнитное поле, если, конечно, оно имеется (не равно нулю), поэтому в определение напряженности электрического поля вносится условие неподвижности пробного заряда; при условии гарантированного отсутствия магнитного поля неподвижность пробного заряда перестает быть обязательной, однако требование отсутствия магнитного поля в общем случае невозможно (а возможно только в частных классах задач).
2. ↑ Для любой частицы ее электрический заряд постоянен. Измениться он может только если от частицы что-то заряженное отделится или если к ней что-то заряженное присоединится.
3. ↑ Хотя иногда его значения могут оказываться и одинаковыми в разных точках пространства; если $\vec E$ одинаков всюду в пространстве (или какой-то области пространства), говорят об однородном электрическом поле - это всего лишь частный случай электрического поля, хотя и наиболее простой; притом что в реальности электрическое поле может быть однородным лишь приближенно, то есть различия $\vec E$ в разных точках пространства есть, но иногда они небольшие и ими можно пренебречь в рамках некоторого приближения.
4. ↑ Электромагнитное поле может быть выражено и по-другому, например через электромагнитный потенциал или в несколько иной математической записи (прячущей вектор напряженности электрического поля вместе с вектором магнитной индукции внутрь тензора электромагнитного поля), однако все эти способы записи тесно связаны между собой, таким образом, утверждение о том, что поле $\vec E$ - одна из основных составляющих электромагнитного поля не утрачивает смысла.
5. ↑ Хотя исторически многие из них были открыты раньше.

См. также

• Электрическая индукция
• Уравнения Максвелла
• Закон Кулона

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации.