Ротор векторного поля

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F},$ где $\mathbf\nabla$ — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

$\operatorname{rot} _ \mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint\limits_{L}\mathbf{ a\cdot \, dr}}{\Delta S}$.

Нормаль $\mathbf n$ к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат $\mathbf\nabla \times \mathbf F$ вычисляется следующим образом:

$\operatorname{rot}\;(F_x \mathbf i + F_y \mathbf j + F_z \mathbf k)= \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k.$

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

$\operatorname{rot}\; \mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \mathbf F = \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix},$

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

$\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \mathbf{v}_{O} + \mathbf{\omega} \times \mathbf{r} + \nabla\varphi + o(\mathbf{r}),$

где $\mathbf{\omega}$ — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а $\varphi$ — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор $\mathbf{v}_{O}$), вращательного движения (вектор $\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}$) и потенциального движения — деформации (вектор $\nabla\varphi$). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство $\operatorname{rot} ~\mathbf{v} = 2\mathbf{\omega},$ и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность:

$\operatorname{rot}\;( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{rot} ~\mathbf{F} + b\;\operatorname{rot} ~\mathbf{G}$

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

• Если $\varphi$ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$\operatorname{rot} ~\varphi \mathbf{F} = \operatorname{grad} ~\varphi ~\times \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{rot} ~\mathbf{F},$

или

$\nabla\times(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\times\mathbf{F}).$

• Дивергенция ротора равна нулю:

$\operatorname{div} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0$ или $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 .$

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

$\operatorname{div} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{rot} ~\mathbf{G}.$

• Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

$\mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi \Rightarrow \operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0$

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

$\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi$

для некоторого скалярного поля $\varphi .$

• Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

$\oint\limits_{\partial S}\mathbf{F} \cdot\,\mathbf{dl} = \int\limits_S (\operatorname{rot} ~\mathbf{F}) \cdot \,\mathbf{dS}$

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname{rot}\;\mathbf{A} = \operatorname{rot}\;(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = \frac{1}{H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_2}(A_3H_3) - \frac{\partial}{\partial q_3}(A_2H_2)\right]\mathbf{q_1} +$

$+ \frac{1}{H_3H_1}\left[\frac{\partial}{\partial q_3}(A_1H_1) - \frac{\partial}{\partial q_1}(A_3H_3)\right]\mathbf{q_2} + \frac{1}{H_1H_2}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_2H_2) - \frac{\partial}{\partial q_2}(A_1H_1)\right]\mathbf{q_3},$

где H_i — коэффициенты Ламе.

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

$\vec{F}(x,y)=y\boldsymbol{\hat{x}}-x\boldsymbol{\hat{y}}$.

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Вычислим ротор:

$\vec{\nabla} \times \vec{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ [{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}$

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

$F(x,y)=-x^2\boldsymbol{\hat{y}}$.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

$\vec{\nabla} \times \vec{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \boldsymbol{\hat{z}}=-2x\boldsymbol{\hat{z}}$

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной темно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Основная статья: Формулы векторного анализа

Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

$\mathbf{ \nabla \times} \left( \mathbf{v \times F} \right) = \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \right] \mathbf{v}- \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \right] \mathbf{F} \ .$

Если v и ∇ поменять местами:

$\mathbf{v \ \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) =\nabla_F \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \left( \mathbf{v \cdot \nabla } \right) \mathbf{ F} \ ,$

что является фейнмановской записью с нижним индексом ∇_F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример ∇ × [ ∇ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

$\nabla \times \left( \mathbf{\nabla \times F} \right) = \mathbf{\nabla} (\mathbf{\nabla \cdot F}) - \nabla^2 \mathbf{F} \ ,$

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v → ∇.

Поясняющие примеры

• В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор везде. (см. Вихревое движение).
• В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

^[1]

Примечания

1. ↑ Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

• Векторный анализ
• Оператор набла
• Теорема Грина
• Формулы векторного анализа