- Рациональный кирпич
-
Рациональный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, рациональный кубоид — целочисленное решение системы диофантовых уравнений
До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 1011.[2] Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:
- — одна из лицевых диагоналей нецелая.
- , — одно из рёбер нецелое.
- Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
В 2005 году тбилисский студент Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на 2009 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными.[3][4]
Эйлеров параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:
- (275, 252, 240),
- (693, 480, 140),
- (720, 132, 85),
- (792, 231, 160).
Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.
Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)[5]:
- Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b,c)=1).
- Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
- Одно ребро делится на 5.
- Одно ребро делится на 11.
См. также
Примечания
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html
- ↑ http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html
- ↑ Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
- ↑ http://web.archive.org/web/20061126183733/http://www.mualphatheta.org/Science_Fair/Science_Fair_Winners.html
- ↑ http://f2.org/maths/peb.html
Wikimedia Foundation. 2010.