Расслоение струй

Расслоение струй

Струя отображения f на многообразии M — это операция, сопоставляющая каждой точке x из M некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора f в точке x). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.

Содержание

Струи на евклидовом пространстве

Аналитическое определение

Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на p-адический анализ и т. п.

Пусть C^\infty(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m) — векторное пространство гладких отображений f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m. Пусть k — неотрицательное целое число, p — точка в \mathbb{R}^n. Определим класс эквивалентности E_p^k в этом пространстве следующим образом: две функции f и g эквивалентны порядка k, если они имеют равное значение в точке p и все их частные производные до k-ого порядка включительно совпадают в этой точке.

Пространство k-струй (струй k-ого порядка) на C^\infty(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m) в точке p — это множество классов эквивалентности E^k_p (обозначается J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m)).

k-струя гладкого отображения f\in C^\infty(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m) в точке p — это класс эквивалентности в J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m), содержащий f.

Алгебро-геометрическое определение

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть C^\infty(\mathbb{R}^n_p,\;\mathbb{R}^m) — векторное пространство ростков гладких отображений f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m в точке p\in\mathbb{R}^n. Пусть \mathfrak{m}_p — идеал отображений, равных нулю в точке p (это максимальный идеал локального кольца C^\infty(\mathbb{R}^n_p,\;\mathbb{R}^m)), а \mathfrak{m}_p^{k+1} — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке p с точностью до k-ого порядка. Определим пространство струй в точке p как

J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m)=C^\infty(\mathbb{R}^n_p,\;\mathbb{R}^m)/\mathfrak{m}_p^{k+1}.

Если f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m — гладкое отображение, то можно определить k-струю f в точке p как элемент J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m), для которого

J^k_pf=f\ (\hbox{mod}\ \mathfrak{m}_p^{k+1}).

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m) и \mathbb{R}^m[z]/(z^{k+1}), поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответсвующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку

Мы определили пространство J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m) струй в точке p\in\mathbb{R}^n. Подпространство, содержащее те струи отображения f, для которых f(p) = q, обозначается

J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m)_q=\left\{J^kf\in J^k_p(\mathbb{R}^n,\;\mathbb{R}^m)|f(p)=q\right\}.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Расслоение струй" в других словарях:

  • ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — в узком смысле оператор, действующий на функции, заданные на открытом множестве и принимающий значения в поле или по формуле где функции со значениями в том же поле, наз. коэффициентами А. Если коэффициенты принимают значения во множестве матриц… …   Математическая энциклопедия

  • Струя (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Струя. Струя отображения на многообразии   это операция, сопоставляющая каждой точке из некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора в точке ). С точки зрения теории струй эти …   Википедия

  • ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ — раздел математич. анализа и дифференциальной геометрии, в к ром изучаются свойства отображений, сохраняющихся при заменах координат в образе и прообразе отображения (или при заменах, сохраняющих нек рые дополнительные структуры); предлагается… …   Математическая энциклопедия

  • СТРУКТУРА — 1) С., математическая структура, родовое название, объединяющее понятия, общей чертой к рых является то, что они применимы к множествам, природа элементов к рых но определена. Чтобы определить С., задают отношения, в к рых находятся элементы… …   Математическая энциклопедия

  • Структура (математика) — Под структурой в математике понимают несколько довольно общих определений: Математическая структура, или просто структура  родовое название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам неопределённой природы.… …   Википедия

  • Структура (дифференциальная геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Структура (значения). В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным… …   Википедия

  • НЁТЕР ТЕОРЕМА — 1) Первая теорема Нётер теорема, устанавливающая связь между янфинитезимальными симметриями функционала вида тде независимые переменные, функции, определенные в нек рой области их частные производные, L нек рая функция (функция Лагранжа), и… …   Математическая энциклопедия

  • ПСЕВДОГРУППОВАЯ СТРУКТУРА — на многообразии M максимальный атлас Агладких локальных диффеоморфизмов многообразия Мна фиксированное многообразие V, все функции перехода между к рыми принадлежат данной псевдогруппе Г локальных преобразований многообразия V. Псевдогруппа Г наз …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — естественная операция на дифференцируемом многообразии, сопоставляющая дифференцируемому векторному полю Xи дифференцируемому геометрич. объекту Qна многообразии Мнек рый новый геометрич. объект описывающий скорость изменения геометрич. объекта… …   Математическая энциклопедия

  • Тензор — У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания). Тензор (от лат. tensus, «напряженный»)  объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»