Рамануджан

Один из немногих известных портретов С. Рамануджана

Рамануджан Сриниваса Айенгор (Ramanujan) (22 декабря 1887, Ироду на юге Индии, — 26 апреля 1920, близ Мадраса) — индийский математик.

Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Наиболее значительна его работа совместно с Г. Харди по асимптотике функции p(n) — числа представлений числа n суммой положительных слагаемых.

Сфера его интересов очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, круглые числа (то есть числа, являющиеся произведениями значительного количества малых сомножителей), разбиения, гипергеометрические ряды, функции и специальные суммы, носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.

Он нашел несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырех кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современные математики считают, что Рамануджан был и остается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире.

Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение e на π:

$1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \ldots + \frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{1+\ldots}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}.$

Математикам хорошо известна формула вычисления числа π, полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:

$\pi = \frac{9801}{2\sqrt{2} \sum\limits^\infty_{k=0} \displaystyle\frac{(4k)!}{(k!)^4} \times \displaystyle\frac{[1103 + 26390k]}{(4 \times 99)^{4k}}}.$

Всего при k = 100 достигается невиданная ранее точность вычисления мировой константы — шестьсот верных значащих цифр!

Пример бесконечной суммы, найденной Рамануджаном:

$1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \ldots = \frac{2}{\pi}.$

Эта удивительная формула — одна из предложенных им к первому письму Харди. Каким образом, сумма знакочередующего ряда может вдруг оказаться равной 2 / π, Харди долго не мог понять. Доказательство точного равенства неэлементарно.

Формулы Рамануджана удивительно изящны:

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\ldots}}}}=3.$

По поводу ряда открытий индийского математика есть остроумное замечание: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их».

Сам Рамануджан говорил, что формулы ему во сне внушает богиня Намаджири (Namagiri, Намаккаль). Эти формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.

Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, была издана книга, в которой приведены просто фотокопии его черновиков.

Понятия, связанные с именем Рамануджана

Рамануджан внёс значительный вклад в математику. Его имя носят:

• Гипотеза Рамануджана
• Суммы Рамануджана
• Функция Рамануджана
• Число Рамануджана — Харди
• Тождество Роджерса — Рамануджана
• Теорема Харди — Рамануджана
• Тождество Доугалла — Рамануджана

Литература

• С. Г. Гиндикин Рассказы о физиках и математиках. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-83-9
• Г. Харди «Двенадцать лекций о Рамануджане». М.: Институт компьютерных исследований, 2002, с. 336.
• С. Г. Гиндикин Загадка Рамануджана // Квант. — 1987. — № 10. — С. 14.
• Р. Аски «С. Рамануджан. Гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды».
• Дж. Борвейн, П. Борвейн Рамануджан и число π // В мире науки. — 1988. — № 4.
• В. И. Левин «Рамануджан — математический гений Индии» (альтернативная ссылка). М.: «Знание», 1968.
• В. И. Левин «Жизнь и творчество индийского математика С. Рамануджана», «Историко-математические исследования», 1960.
• Дж. И. Литлвуд «Математическая смесь».
• Литература о Рамануджане в рунете