Неравенство Чебышёва (теория вероятностей)

Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина $X:\Omega \to \mathbb{R}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$, и её математическое ожидание μ и дисперсия σ² конечны. Тогда

$\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant a\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}$,

где a > 0.

Если a = kσ, где σ — стандартное отклонение и k > 0, то получаем

$\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на 2 стандартных отклонения с вероятностью меньше 25%. Она отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения с вероятностью меньше 11%.

См. также

• Неравенство Чебышёва для сумм
• Неравенство Маркова
• Чебышёв, Пафнутий Львович.