Пространственная группа

Пространственная группа

Кристаллографическая группа — дискретная группа движений n-мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область.

Под кристаллографической (пространственной) группой кристалла понимают набор всех операций симметрии, присущих рассматриваемой кристаллической решётке. Кристаллографическая группа представляет собой более широкое понятие, чем структурный тип, так как последний включает в себя, помимо характерных для решётки операций симметрии, распределение конкретных атомов по позициям симметрии внутри элементарной ячейки. Поэтому одной группе может соответствовать несколько структурных типов.

Содержание

Теорема Бибербаха

Две кристаллографические группы считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований евклидова пространства.

С точностью до эквивалентности имеется 17 плоских и 219 пространственных кристаллографических групп; если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230. В размерности 4 существует 4895 кристаллографических групп с сохранением ориентации, или 4783 без сохранения ориентации[1]. Число кристаллографических групп n-мерного пространства с сохранением ориентации или без даётся последовательностями A004029 и A006227.

Теоремы Бибербаха

  1. Всякая n-мерная кристаллографическая группа Γ содержит n линейно независимых параллельных переносов; группа G линейных частей преобразований (то есть образ Γ в GLn) конечна.
  2. Две кристаллографические группы эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы.
  3. При любом n имеется лишь конечное число n-мерных кристаллографических групп, рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта).

Теорема позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп: Пусть L — совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе Γ. Тогда L — нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная \Z^n и совпадающая со своим централизатором в Γ. Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе Γ является и достаточным условием того, чтобы группа Γ была изоморфна кристаллографической группе.

Группа G линейных частей кристаллографической группы Γ сохраняет решётку L; иными словами, в базисе решетки L преобразования из G записываются целочисленными матрицами.

Возможные симметрии

В 3-мерных кристаллографических группах всегда присутствуют параллельные переносы, могут присутствовать повороты вокруг осей симметрии на углы 180° (ось симметрии 2-го порядка), 120° (3-го порядка), 90° (4-го порядка), 60° (6-го порядка), отражения относительно плоскости симметрии, отражения относительно центра симметрии (центра инверсии), а также сложные операции симметрии, а именно повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (так называемая винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (так называемая плоскость скользящего отражения).

Обозначения

Нумерация

Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элеменатами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» (англ. International Tables for Crystallography), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.

Символика Германа — Могена

Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка; A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).

Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке. Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например, 2/c — ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направлении c). Под основными направлениями понимают:

  • направления базисных векторов ячейки в случае триклинной, моноклинной и ромбической сингонии;
  • направление оси 4-го порядка, направление одного из базисных векторов в основании элементарной ячейки и направление по диагонали основания ячейки в случае тетрагональной сингонии;
  • направление оси 3-го порядка или 6-го порядка, направление одного из базисных векторов в основании элементарной ячейки и направление вектора по диагонали элементарной ячейки под углом 60° к предыдущему в случае гексагональной сингонии (сюда же включается тригональная сингония, которая в этом случае приводится к гексагональной ориентации элементарной ячейки);
  • направление одного из базисных векторов, направление по пространственной диагонали элементарной ячейки и направление по биссектрисе угла между базисными векторами.

Символы Германа-Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411. Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяют C\frac{2}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m} на Cmmm.

Символ Шёнфлиса

Символ Шёнфлиса задаёт класс симметрии (основной символ и нижний индекс) и условный номер группы в пределах этого класса (верхний индекс).

  • Сn, циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
  • Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
  • Cv (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
  • Ch (от нем. horisontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
  • S (от нем. spiegel — зеркало) — для плоскости неопределенной ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии
  • O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии — обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии, или буквой Т — если в группе отсутствуют диагональные оси симметрии.
  • Dn — является группой Сn с добавочной осью симметрии второго порядка, перпендикулярной исходной оси.
  • Dnh также имеет имеет горизонтальную плоскость симметрии.
  • Dnv также имеет имеет вертикальную плоскость симметрии.

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

История

Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов (n = 2) и кристаллических структур (n = 3). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена независимо Фёдоровым (1885), Шёнфлисом (нем) (1891) и Барлоу (1894). Основные результаты для многомерных кристаллографических групп были получены Бибербахом (нем)[2].

См. также

Примечания

  1. H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.
  2. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

Литература

  • Дж. Вольф, Пространства постоянной кривизны. Перевод с английского. Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1982.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Пространственная группа" в других словарях:

  • пространственная группа — erdvinė grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. space group vok. Raumgruppe, f rus. пространственная группа, f pranc. groupe d’espace, m; groupe spatial, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА симметрии — (Фёдоровская группа), совокупность всех преобразований симметрии, присущих крист. решётке (см. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ) и составляющих с матем. точки зрения группу. Вывод всех 230 П. г. был осуществлён в 1890 91 Е. С. Фёдоровым и независимо от него… …   Физическая энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА СИММЕТРИИ — совокупность преобразований симметрии кристаллической решетки, совмещающих эту решетку саму с собой. Всего существует 230 различных пространственных групп симметрии …   Большой Энциклопедический словарь

  • пространственная группа симметрии — совокупность преобразований симметрии кристаллической решётки, совмещающих эту решётку саму с собой. Всего существует 230 различных пространственных групп симметрии. * * * ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА СИММЕТРИИ… …   Энциклопедический словарь

  • пространственная группа симметрии — erdvinės simetrijos grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. spatial symmetry group vok. Raumsymmetriegruppe, f rus. пространственная группа симметрии, f pranc. groupe de symétrie spatiale, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Пространственная группа —         симметрии, федоровская группа, совокупность преобразований симметрии, присущих атомной структуре кристаллов (кристаллической решётке (См. Кристаллическая решётка)). Вывод всех 230 П. г. был осуществлен в 1890 91 русским кристаллографом Е …   Большая советская энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА СИММЕТРИИ — совокупность преобразований симметрии кристаллич. решётки, совмещающих эту решётку саму с собой. Всего существует 230 разл. П. г. с …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Пространственная форма — Пространственная форма  связное полное риманово многообразие постоянной кривизны . Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно , , . С помощью перенурмеровки метрики, классификацию… …   Википедия

  • ГРУППА ПЕРВИЧНАЯ — вид группы малой (см.), отличается высокой степенью солидарности, глубоко развитым чувством мы . Характерные черты: малочисленный состав, пространственная близость членов, длительность существования, единство цели, добровольность вступления в… …   Российская социологическая энциклопедия

  • Кристаллографическая группа — Кристаллографическая группа  дискретная группа движений мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область. Содержание 1 Теорема Бибербаха 1.1 Число гру …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»