- Производная Радона — Никодима
-
Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.
Содержание
Формулировка
Пусть — пространство с мерой и мера μ σ-конечна. Тогда если мера абсолютно непрерывна относительно μ , то существует измеримая функция , такая что
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Связанные понятия
- Функция f, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры ν относительно меры μ. Пишут:
- Если — k-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, — распределение некоторой случайной величины X, а μ = m — мера Лебега на , то производная Радона — Никодима меры относительно меры m называется плотностью распределения случайной величины X.
Свойства
- Пусть — σ-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве . Тогда если и , то
- Пусть . Тогда
- λ — почти всюду.
- Пусть и — измеримая функция, интегрируемая относительно меры μ, то
- Пусть и . Тогда
- Пусть ν — заряд. Тогда
Вариации и обобщения
Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.
См. также
- Никодим, Отто;
- Радон, Иоганн.
- Функция f, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры ν относительно меры μ. Пишут:
Wikimedia Foundation. 2010.