Проблема базиса

Ба́зис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Существуют две основных разновидности определения: базис Га́меля, и базис Ша́удера. Базис Га́меля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре). В функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства, под базисом обычно понимается базис Ша́удера, понятие, основанное на разложении в ряды. В том случае, когда пространство имеет конечный базис (т.е. пространство конечномерно), обе этих разновидности совпадают.

Содержание

1 Базис Га́меля
2 Базис Ша́удера
- 2.1 Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a,b]
- 2.2 Проблема базиса
3 См. также
4 Литература

Базис Га́меля

Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), при этом ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных (линейная независимость).

Свойства

В каждом линейном пространстве существует базис (доказательство этой теоремы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора).
Базисами являются максимальные по включению линейно независимые системы векторов, и только они.
Базисами являются минимальные по включению полные системы векторов, и только они.
Единственная тривиальная (равная нулю) линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
Для любого вектора существует единственное представление в виде конечной линейной комбинации векторов базиса.
Мощность базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается $dim V$ ).

Связанные определения

Линейное пространство называют конечномерным, если оно имеет конечный базис, и бесконечномерным, если оно не имеет конечного базиса.
Представление вектора в виде (конечной) линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису Гамеля.

Примеры

Векторы $e_1, e_2,\dots,e_n$ пространства $\R^n$ образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: $\det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0$ .
В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: $1, x, x^2,\dots,x^n,\dots$ .
Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Ша́удера

Система векторов ${e n}$ топологического векторного пространства $L$ называется базисом Шаудера (англ. Shauder basis), если каждый элемент $f \in L$ разлагается в единственный, сходящийся к $f$ ряд по ${e n}$ :

$f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i ,$

где $f i$ — числа, называемые коэффициентами разложения вектора $f$ по базису ${e n}$ .

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд) для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций $\{1,\sin(2\pi nx),\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\}$ является базисом Шаудера в пространстве $L 2 [0,1]$ . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций $C [a, b]$

$C [a, b]$ — банахово пространство с нормой $\|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)|$ . Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве $L 2 [a, b]$ , но не в $C [a, b]$ . Шаудер сконструировал базис Шаудера ${e n}$ для $C [a, b]$ . Пусть $\{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\}$ — плотное счетное множество точек на $[a, b]$ , $x 0 = a$ , $x 1 = b$ , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка $[a, b]$ , упорядоченными произвольным образом. Положим: $e 0 = 1$ , $e 1 = (x - a) / (b - a)$ — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию $e n (x)$ так, чтобы $e n (x i) = 0$ при $i=0,1,\dots,n-1$ и $e n (x n) = 1$ . Точки $x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1}$ разбивают $[a, b]$ на $n - 1$ отрезок. Точка $x n$ лежит строго внутри одного из них. Пусть это $I n = [x j, x k]$ для каких-то $j, k \in \{0,\dots,n-1\}$ (порядок нумерации чисел $x_0, x_1, x_2,\dots$ не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение

L 5 (x)

. Красным цветом на графике выделен участок, на котором

L 5

отличается от

L 4

(синяя ломаная).

Положим:

e n (x) = 0

вне отрезка

I n = [x j, x k],

$e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j}$ при $x \in [x_j,x_n],$

$e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n}$ при $x \in [x_n,x_k].$

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции $f(x) \in C[a,b]$ по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений $f (x i)$ . Частичная сумма первых $n + 1$ членов ряда

$L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) ,$

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией $f (x)$ с узлами в точках $x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n}$ ; формула для коэффициентов $f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a)$ (см. Рис.)