Потенцирование (математика)

Число a^b называется степенью с основанием a и показателем b.

Натуральная степень

Число с называется n-ной степенью числа а, если $c = \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a\cdot ... \cdot a } \\ n \end{matrix}$.

Свойства:

1. $\left(ab\right)^n = a^nb^n$
2. $\left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}$
3. aⁿa^m = a^{n + m}
4. ${a^n\over {a^m}} = a^{n-m}$, n>m.
5. $\left(a^n\right)^m = a^{nm}$

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

$a^z = \begin{cases} a^{z}, & \mbox{if }z>0 \\ 1, & \mbox{if }z=0 \ { and } \ a \ne \; 0 \\ {1\over{a^{-z}}}, & \mbox{if }z<0, a \ne \; 0 \end{cases}$
$0^n,n \leqslant 0$ не определён

Рациональная степень

По определению, $a^{p\over q} = \sqrt[q]{a^p}, \quad p \in \mathbb{Z}\ , q \in \mathbb{N}\$

См. корень степени q

Действительная степень

Пусть $a\geqslant 0$.

В школе действительную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда $a^p &amp;lt; \;a^r&amp;lt; \;a^q$, где p < q, | p − q | < ε, где ε — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между a^p и a^q принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

$\log_a~x = b$

Из определения логарифма вытекает, что x = a^b. Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен L, то искомое число равно 10^L.

Комплексная степень

Определим некоторые функции:

$\ln{x}=\int\limits_1^x{\frac{dz}{z}}$

$\mathbf{e}^x=\ln^{-1}{x}$

теперь для вычисления a^z можно использовать свойства степеней и логарифмов:

$a^z = \mathbf{e}^{z\ln{a}}$

Степень как функция

Поскольку в выражении x^y принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

• функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
• функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
• функцию двух переменных.

См. также

• e (математическая константа)
• Логарифм — обратная к возведению в степень функция.
• Корень n-й степени — обратная к возведению в степень функция.
• Квадрат — возведение во вторую степень.
• Куб — возведение в третью степень.
• Тетрация — обобщение возведения в степень.
• Гипероператор

Ссылки

• А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ